Сравнение отрезков по длине

Определения и обозначения

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называют концами отрезка, например A и B, а сам отрезок обозначают AB. Понятие отрезка нужно, чтобы описывать прямые части фигур и измерять расстояние между двумя точками.

Сравнение отрезков по длине — это установление того, какой отрезок длиннее, короче или равен другому. Сравнивать можно словами или числовыми значениями длины. Это помогает выбирать больший отрезок и проверять, одинаковы ли размеры частей фигуры.

Равные отрезки — отрезки одинаковой длины. Они могут быть расположены горизонтально, вертикально или наклонно, но положение не изменяет их длину. Знать это нужно, чтобы не путать внешний вид отрезка с его настоящим размером.

Единичный отрезок — отрезок, длина которого принята за единицу измерения. Например, при измерении в сантиметрах единичным отрезком считают 1 см. Благодаря единице длину можно выразить числом и сравнить её с другими длинами.

Как это устроено

Сравнение «на глаз» даёт только предварительный результат, потому что отрезки могут иметь разное направление и положение. Наклонный отрезок иногда кажется длиннее горизонтального, хотя их длины равны. Поэтому взгляд помогает предположить ответ, но для проверки нужен точный способ.

При сравнении наложением один конец первого отрезка совмещают с концом второго. Затем смотрят на положение вторых концов: дальше окажется конец более длинного отрезка, а совпадение концов покажет равенство. Такой способ удобен, когда отрезки можно перенести или когда они изображены рядом.

Если наложить отрезки нельзя, их измеряют линейкой. Нулевую отметку прикладывают к началу отрезка, чтобы отсчёт начинался именно от его конца, а не от произвольного края линейки. Полученное число показывает длину отрезка в сантиметрах или миллиметрах.

Результат сравнения записывают словами: «длиннее», «короче», «равен». Если длины выражены числами в одинаковых единицах, используют знаки >, < и =, например 7 см > 5 см. Знак выбирают после того, как установлено, какое число больше или числа равны.

Разные единицы нельзя сравнивать непосредственно, потому что сантиметр и миллиметр имеют разные размеры. Сначала обе длины переводят в сантиметры или обе в миллиметры, а затем сравнивают числа. Например, 4 см 5 мм = 45 мм, поэтому 45 мм < 46 мм.

Способы сравнения отрезков

В таблице показано, какой способ выбрать и что именно он позволяет узнать. Если отрезки можно совместить, подойдёт наложение; если нет — используйте линейку. При числовых данных сначала проверьте единицы измерения.

Разбор задач

Задача 1

Условие. На рисунке изображены два отрезка. Нужно определить, какой из них длиннее, сравнив их наложением. Числа измерять не требуется, потому что достаточно сопоставить концы.

1. Выберем один конец первого отрезка и совместим его с одним концом второго.
2. Сохраняя это совмещение, сравним положения оставшихся концов. Тот конец, который окажется дальше от общей точки, принадлежит более длинному отрезку.
3. Если оставшиеся концы совпадут, отрезки равны; если один окажется ближе, соответствующий отрезок короче.

Ответ. Длиннее тот отрезок, чей второй конец после наложения расположен дальше; при совпадении вторых концов отрезки равны.

Задача 2

Условие. Нужно измерить отрезки AB и CD линейкой и записать, какой из них длиннее. Точные значения зависят от изображения, поэтому сначала правильно выполняем измерение каждого отрезка.

1. Приложим нулевую отметку линейки к началу AB и запишем число у его второго конца.
2. Так же измерим CD, каждый раз начиная отсчёт с нулевой отметки.
3. Сравним полученные длины, предварительно убедившись, что они выражены в одинаковых единицах.

Ответ. Длиннее тот из отрезков AB и CD, у которого измеренная длина больше. Если числа совпали, отрезки равны.

Задача 3

Условие. Длина AB равна 4 см 5 мм, а длина CD — 46 мм. Требуется сравнить отрезки, но записи используют смешанную и миллиметровую формы. Приведём обе длины к миллиметрам.

1. В одном сантиметре 10 мм, поэтому 4 см = 40 мм.
2. Добавим 5 мм: AB = 40 мм + 5 мм = 45 мм.
3. Сравним 45 мм и 46 мм: 45 меньше 46, значит, AB короче CD.

Ответ. AB < CD, потому что 45 мм < 46 мм.

Типичные ошибки

Нельзя считать отрезки равными только потому, что на рисунке они выглядят одинаковыми. Изображение может быть выполнено не в масштабе, а наклон и положение меняют впечатление. Проверьте равенство наложением или измерением линейкой.

Ошибка возникает, если начинать отсчёт от края линейки, а не от нулевой отметки. Тогда к длине отрезка случайно прибавляется расстояние до нулевой отметки. Для проверки ещё раз совместите его начало с 0.

Иногда сравнивают расстояние между концами на странице, не учитывая наклон отрезков. Так можно принять расположение за длину. Представьте наложение или измерьте каждый отрезок линейкой.

Нельзя сразу сравнивать числа, записанные в разных единицах. Например, 4 см и 5 мм — не просто числа 4 и 5, потому что единицы имеют разный размер. Переведите обе длины в миллиметры или сантиметры и только затем поставьте знак сравнения.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь распознавать отрезок, находить его концы и пользоваться линейкой. Эти навыки позволяют правильно выбрать начало измерения и записать длину. Без них сравнение может оказаться неточным.

Сравнение длин пригодится при измерении сторон геометрических фигур и построении отрезков заданного размера. Оно также помогает решать задачи на длину, где нужно узнать, какая величина больше, меньше или равна другой. Умение переводить единицы делает такие решения правильными.

Что запомнить

• Отрезок ограничен двумя концами.
• Длину можно сравнить наложением или измерением.
• При наложении совмещай одни концы отрезков.
• При измерении совмещай начало отрезка с нулевой отметкой линейки.
• Сравнивай длины, выраженные в одинаковых единицах.