Сравнение чисел

Определения и обозначения

Сравнение чисел — определение, какое из двух чисел больше, меньше или равно другому. Например, можно сравнить количество предметов в двух группах или длины двух отрезков. Сравнение помогает расположить числа в нужном порядке и выбрать подходящее значение в задаче.

Знак «>» — знак, который ставят между числами, если число слева больше числа справа. Запись 9 > 5 читают: «девять больше пяти». Такой знак нужен, чтобы коротко и точно показать, какое из двух чисел имеет большее значение.

Знак «<» — знак, который ставят между числами, если число слева меньше числа справа. Запись 4 < 7 читают: «четыре меньше семи». С помощью этого знака можно записать порядок чисел от меньшего к большему.

Знак «=» — знак, который ставят между числами, если они равны. Например, 6 = 6 означает, что оба числа обозначают одно и то же количество. Этот знак помогает показать, что при сравнении ни одно число не больше и не меньше другого.

Как это устроено

Сравнение помогает установить порядок чисел и записать его с помощью знаков «>», «<» или «=». Чтобы выбрать знак, сначала выясни, какое число больше, а затем поставь его с правильной стороны записи. Так запись не просто называет два числа, а показывает их отношение друг к другу.

На числовом луче числа располагаются по возрастанию слева направо: точка правее соответствует большему числу. Это происходит потому, что при движении по лучу вправо от начала отсчёта расстояние увеличивается. Поэтому расположение точек даёт наглядную проверку: если точка числа 7 правее точки числа 4, то 7 больше 4.

При сравнении натуральных чисел сначала учитывают количество цифр: число с большим количеством цифр больше. Например, у числа 86 две цифры, а у числа 125 — три, значит, 125 больше 86. В записи натурального числа больше цифр означает, что оно содержит разряды более высокого порядка и представляет большее количество единиц.

Если количество цифр одинаковое, сравнивают цифры по разрядам слева направо; решает первое различие. Сначала проверяют старший разряд — в числе 472 это сотни. Если цифры сотен совпали, сравнивают десятки, а затем единицы: разряды слева имеют больший вес, поэтому различие в них уже определяет порядок чисел.

Чтобы не перепутать знаки, можно представить, что их раскрытая сторона обращена к большему числу. Например, в записи 10 > 6 широкая часть знака находится у десяти, а острый угол — у шести. Это простое правило помогает проверить запись после того, как числа уже сравнены другим способом.

Как сравнивать числа

В таблице собраны основные случаи сравнения. Сначала найди подходящую ситуацию, затем примени указанный способ и проверь, как выглядит запись. Примеры показывают, какой знак ставить между числами.

Разбор задач

Сравни числа 4 и 7. Поставь между ними знак.

Нужно определить, какое из двух чисел больше, а затем записать числа с подходящим знаком. Можно представить их точки на числовом луче: точка числа 7 будет правее точки числа 4. Значит, число 4 меньше числа 7.

1. Сравниваем значения: 4 меньше 7.
2. Записываем числа в том же порядке, что в условии.
3. Ставим знак «<», потому что число слева меньше числа справа.

Получаем запись 4 < 7. Раскрытая сторона знака направлена к семи, то есть к большему числу. Ответ: 4 < 7.

Сравни числа 36 и 63.

У обоих чисел по две цифры, поэтому количества цифр недостаточно для сравнения. Начинаем с цифр в разряде десятков: в числе 36 это 3 десятка, а в числе 63 — 6 десятков. Эти цифры различаются, поэтому сравнение можно закончить, не переходя к единицам.

1. Проверяем количество цифр: в каждом числе по две цифры.
2. Сравниваем цифры десятков: 3 меньше 6.
3. Делаем вывод, что 36 меньше 63, и ставим знак «<».

Единицы здесь не меняют результата, так как первое различие найдено в разряде десятков. Проверка знака: его раскрытая сторона обращена к 63. Ответ: 36 < 63.

Сравни числа 408 и 415, а затем отметь их на числовом луче.

В обоих числах по три цифры, поэтому сравниваем разряды слева направо. Сотни одинаковые — по 4, значит, смотрим на десятки: 0 меньше 1. Уже этого достаточно, чтобы понять, какое число меньше; цифры единиц на вывод не повлияют.

1. Сравниваем сотни: 4 = 4.
2. Сравниваем десятки: 0 < 1, поэтому 408 < 415.
3. На числовом луче отмечаем 408 левее, а 415 правее.
4. Проверяем результат: правее расположено большее число, значит, 415 больше 408.

Числовой луч подтверждает сравнение по разрядам: точка 415 находится правее точки 408. Ответ: 408 < 415; на луче 408 отмечают левее 415.

Типичные ошибки

Путают знаки «>» и «<» и направляют раскрытую сторону не к тому числу. Это случается, когда запоминают внешний вид знака, но не связывают его с большим числом. Проверь себя: широкая часть должна быть у большего числа, например, в записи 8 > 3.

Сравнивают многозначные числа по последней цифре, хотя начинать нужно со старшего разряда. Так делают, если сначала обращают внимание на единицы, но разряды слева имеют больший вес. Проверь цифры слева направо и остановись на первом различии: например, в 36 и 63 решают десятки, а не единицы.

При равном количестве цифр считают, что число с меньшей первой цифрой всегда меньше, не проверяя остальные разряды. Первая цифра действительно важна, когда она различается, но если она совпадает, сравнение продолжают. Проверь, есть ли равенство в старшем разряде; затем переходи к следующему, пока не найдёшь различие.

На числовом луче иногда выбирают число левее как большее. Возможно, направление луча путают с движением в обратную сторону, но числа возрастают слева направо. Проверь порядок по отметкам: точка правее соответствует большему числу, поэтому на луче 2 расположено левее 5.

Связь с другими темами

Для сравнения полезно знать цифры и разряды числа: по ним определяют количество цифр и находят первое различие между числами. Также нужно понимать порядок отметок на числовом луче, где числа возрастают слева направо. Сравнение пригодится, когда нужно упорядочить числа, найти наибольшее или наименьшее значение и решить задачу с величинами, например выбрать более длинный отрезок.

Что запомнить

• Знак «>» читают «больше», знак «<» — «меньше», знак «=» — «равно».
• Раскрытая сторона знака обращена к большему числу.
• На числовом луче больше то число, которое расположено правее.
• Из двух натуральных чисел с разным количеством цифр больше число с большим количеством цифр.
• Если цифр поровну, сравнивают разряды слева направо.
• Равные числа записывают со знаком «=».