Пересечение линий

Определения и обозначения

Линия — это геометрическая фигура, которую на чертеже изображают чертой. Она может быть прямой или иметь изгибы. Такое изображение помогает увидеть её направление и понять, как она расположена относительно других фигур. Поэтому, рассматривая чертёж, мы говорим о линии, а не просто о проведённой на бумаге черте.

Пересечение линий — место, где две линии имеют общую точку. Слово «общая» означает, что это место принадлежит обеим линиям сразу. Так можно точно описать, встретились линии или только приблизились друг к другу. По пересечению также удобно сравнивать расположение разных геометрических фигур.

Точка пересечения — общая точка двух пересекающихся линий. На чертеже её отмечают небольшим знаком прямо в месте встречи линий, а рядом пишут заглавную букву, например А. Буквенное обозначение помогает указать на нужное место, не описывая его словами. Если точек несколько, для каждой выбирают отдельную заглавную букву.

Пересекающиеся линии — это линии, которые имеют одну общую точку. Они встречаются в одном месте, а по обе стороны от него продолжаются дальше. Это название помогает отличить такие линии от тех, которые не встречаются, и от линий, проходящих одна по другой. Для проверки достаточно найти точку, принадлежащую обеим линиям.

Как это устроено

Чтобы изобразить две линии, проведи на листе две черты, например одну горизонтально, а другую наклонно. Затем проследи каждую линию слева направо и проверь, встретятся ли они. Если одна черта заканчивается до другой, это ещё не доказывает пересечение: нужно проверить, есть ли место, принадлежащее обеим. На чертеже важно учитывать именно проведённые линии, а не расстояние между ними.

Место встречи называют общей точкой, потому что оно одновременно находится на каждой из двух линий. Представь, что ты ставишь палец туда, где они пересеклись: палец указывает на часть первой и на часть второй линии. Если точка лежала бы только на одной линии, она не могла бы быть точкой их пересечения. Поэтому при проверке задавай себе вопрос: проходит ли каждая линия через это место?

Когда общая точка найдена, отметь её прямо на чертеже, на обеих линиях. Рядом напиши заглавную букву, например А, чтобы можно было сослаться на точку в задаче. Не ставь букву далеко от места встречи: тогда станет непонятно, какую именно точку ты обозначил. Заглавная буква служит названием точки, а не самой линией или местом вокруг неё.

Пересекающиеся линии имеют общую точку, а непересекающиеся — не имеют ни одной общей точки. На небольшом рисунке отсутствие встречи видно сразу, но иногда линии нужно мысленно продолжить, если по условию они продолжаются дальше. Не путай расположение рядом с настоящим пересечением: между близкими линиями может оставаться расстояние. Если же линии проходят одна по другой, они имеют не одну общую точку, а целый участок общих точек.

Для проверки рисунка выбери пару линий и сначала проследи ход каждой из них. Затем найди место, через которое проходят обе линии, или убедись, что такого места нет. Если точка найдена, она должна лежать на обеих линиях, а не рядом с ними. Проверяй пары по очереди, чтобы не пропустить пересечение или не приписать его линиям, которые только близки.

Расположение двух линий на плоскости

Сначала найди в таблице описание того, как выглядят линии на чертеже. Затем посмотри, сколько у них общих точек, и прочитай название расположения. Если линии идут одна по другой, не называй весь общий участок одной точкой: в таком случае общих точек много.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке две линии пересекаются. Отметь место их встречи и обозначь его буквой А. Нужно не просто поставить букву рядом, а найти точку, которая находится на обеих линиях. Действуем по порядку.

1. Проследи первую линию, а затем вторую. Так легче увидеть, где их ходы совпадают в одном месте.
2. Найди точку встречи и отметь её на обеих линиях. Если поставить отметку рядом, она не будет общей точкой этих линий.
3. Напиши возле отметки заглавную букву А. Проверь, что буква указывает именно на пересечение.

Ответ: место встречи линий отмечено точкой А.

Задача 2. Начерти две линии, которые пересекаются, и подпиши точку пересечения буквой К. Сначала нужно получить две линии с одной общей точкой, а потом правильно обозначить её. Подойдут, например, две черты, проведённые крест-накрест.

1. Проведи первую линию. Она задаст одну часть чертежа, но пока пересечения нет.
2. Начерти вторую линию так, чтобы она прошла через первую в одном месте. Убедись, что линии действительно встречаются, а не только подходят близко.
3. Отметь точку встречи на обеих линиях и подпиши её заглавной буквой К. Букву располагай рядом, чтобы она не закрывала само пересечение.

Ответ: начерчены две пересекающиеся линии, их общая точка обозначена буквой К.

Задача 3. На чертеже показаны несколько пар линий. Для каждой пары определи, пересекаются ли линии, и если да — обозначь точку пересечения. Чтобы не перепутать пары, проверяй их по очереди. В каждой паре ищи именно общую точку.

1. Выбери первую пару и проследи ход обеих линий. Не делай вывод только по тому, насколько близко они расположены.
2. Если линии встречаются, отметь точку прямо на обеих линиях и подпиши заглавной буквой. Если общей точки нет, запиши, что пара не пересекается.
3. Повтори проверку для каждой оставшейся пары. В конце убедись, что все обозначенные точки лежат на обеих линиях соответствующей пары.

Ответ: пересекающиеся пары отмечены заглавными буквами в местах общей точки; пары без общей точки названы непересекающимися.

Типичные ошибки

Иногда близко расположенные линии принимают за пересекающиеся. Так происходит, потому что на чертеже расстояние между ними может казаться очень маленьким. Проследи каждую линию и проверь, проходят ли обе через одно место: если между ними остаётся промежуток, общей точки нет.

Другая ошибка — поставить отметку рядом с местом встречи, а не на самих линиях. Можно отвлечься на подпись или неточно провести знак, и тогда точка окажется только около линий. Проверь себя: через отмеченную точку должны проходить обе линии, иначе она не является их общей точкой.

Иногда общую точку принимают за целый участок, где линии проходят одна по другой. Это происходит, когда не различают точное место встречи и совпадающие линии. В случае пересечения отметь одну точку; если линии идут одна по другой, у них много общих точек, и их расположение называют совпадением.

Точку могут обозначить маленькой буквой или вообще оставить без подписи. Обычно это происходит из-за невнимательности или путаницы между обозначениями точки и других объектов. Используй заглавную букву и проверь, что она стоит рядом с нужной отметкой, а не закрывает пересечение.

Связь с другими темами

Для работы с пересечением нужно различать точку и линию, а также уметь читать простой чертёж. Точка показывает точное место, а линия помогает проследить, где это место расположено. Если научиться видеть общую точку, будет проще определять взаимное расположение геометрических фигур. Эти навыки пригодятся при изучении чертежей и новых геометрических понятий.

Понятие общей точки используют, когда изучают фигуры и их взаимное расположение. Оно помогает выяснить, касаются ли фигуры, встречаются ли их границы и где именно это происходит. Умение отмечать точку пересечения делает такие рассуждения точнее. Поэтому полезно проверять, действительно ли искомая точка принадлежит обеим рассматриваемым линиям или фигурам.

Что запомнить

• Пересечение линий — их общая точка.
• Точка пересечения принадлежит обеим линиям.
• Пересекающиеся линии имеют общую точку.
• Точку на чертеже обозначают заглавной буквой.
• Если общей точки нет, линии не пересекаются.