Скобки. Порядок действий в примерах со скобками

Определения и обозначения

Скобки — знаки «(» и «)», которыми выделяют часть примера, которую нужно вычислить первой. Например, в записи 8 + (5 − 2) скобки указывают, что сначала нужно найти разность 5 − 2. Они помогают не перепутать очередность действий и увидеть, какую часть выражения следует рассчитать до остальных.

Выражение со скобками — пример, в котором скобки задают порядок выполнения действий. В записи 24 : (2 + 4) сначала вычисляют сумму, а уже потом делят 24 на полученное число. Это определение нужно, чтобы понимать: скобки — не украшение записи, а указание, которое влияет на способ вычисления.

Порядок действий — очередность, в которой выполняют действия в примере. Сначала учитывают скобки, затем ступени действий, а при равной ступени считают слева направо. Знание этого порядка помогает получить правильный результат, даже если в выражении встречается несколько разных знаков.

Действия одинаковой ступени — умножение и деление или сложение и вычитание; такие действия выполняют по порядку слева направо. Например, в выражении 18 : 3 · 2 сначала делят 18 на 3, а затем умножают результат на 2. Это правило нужно, чтобы все выполняли такие примеры одинаково, а не выбирали действие по удобству.

Как это устроено

Скобки выделяют часть примера, поэтому её значение находят до вычислений за скобками. Иначе можно использовать в дальнейших действиях число, которое ещё не получено, или изменить заданный смысл выражения. Например, в 8 + (5 − 2) число 8 прибавляют не к 5, а к результату вычитания. После вычисления скобок остаётся простое выражение 8 + 3.

Когда скобки уже вычислены, вне скобок сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Умножение и деление имеют более высокую ступень, поэтому их результат нужно получить до сложения или вычитания. Например, в 6 + 4 · 2 сначала находят произведение 4 · 2, а после прибавляют его к 6. Если поменять эти шаги местами, получится другое и неверное для этой записи значение.

Если в выражении есть несколько действий одной ступени, их выполняют слева направо. Так, сложение и вычитание равноправны между собой, как и умножение с делением; выбирать одно из них первым только по знаку нельзя. В записи 20 − 8 + 3 сначала вычитают 8 из 20, затем прибавляют 3. Такой порядок делает решение однозначным.

После вычисления скобок их содержимое можно заменить найденным числом. Это удобно: в записи становится меньше действий, и проще увидеть, что выполнять дальше. Например, 6 + (12 : 3) · 2 превращается в 6 + 4 · 2. Теперь остаётся применить правило для умножения и сложения.

Скобки способны изменить привычную очередность вычислений, поэтому одинаковые числа и знаки могут дать разные результаты при разном расположении скобок. В выражении 8 + 5 · 2 сначала выполняют умножение, и получают 18. А в выражении (8 + 5) · 2 сначала складывают числа в скобках, и получают 26. Перед вычислением внимательно проверь, какие действия объединены скобками.

Порядок выполнения действий в примере со скобками

Пользуйся таблицей как планом: сначала найди скобки, потом проверь ступени действий вне них. Если действий одной ступени несколько, двигайся слева направо. После каждого шага можно переписать пример с полученным результатом.

Разбор задач

Вычисли: 8 + (5 − 2). Здесь есть сложение и вычитание, но сначала нужно обратить внимание на скобки. Они показывают, что к 8 прибавляют результат вычитания, а не число 5. Поэтому сначала находим значение в скобках.

1. Выполняем вычитание: 5 − 2 = 3.
2. Заменяем скобки полученным числом: 8 + 3.
3. Складываем: 8 + 3 = 11.

Ответ: 11. Проверка порядка проста: первое действие было внутри скобок, а затем осталось только сложение. Если начать с 8 + 5, заданный скобками порядок будет нарушен.

Вычисли: 6 + (12 : 3) · 2. Сначала находим значение в скобках, потому что оно должно быть готово до действий с остальной частью. После этого вне скобок останутся сложение и умножение. Умножение выполняется раньше сложения.

1. Вычисляем деление в скобках: 12 : 3 = 4.
2. Переписываем пример: 6 + 4 · 2.
3. Выполняем умножение: 4 · 2 = 8.
4. Складываем: 6 + 8 = 14.

Ответ: 14. Сначала мы выполнили действие в скобках, а затем умножение — это действие более высокой ступени, чем сложение. Если сначала сложить 6 и 4, порядок действий окажется нарушен.

Вычисли: 24 : (2 + 4) + 3 · 2. Здесь есть скобки, деление, умножение и сложение. Сначала находим сумму в скобках, затем выполняем деление и умножение, а сложение оставляем последним. Деление и умножение стоят на одной ступени, но находятся по разные стороны от сложения.

1. Вычисляем сумму в скобках: 2 + 4 = 6.
2. Заменяем скобки числом: 24 : 6 + 3 · 2.
3. Выполняем деление и умножение: 24 : 6 = 4, 3 · 2 = 6.
4. Складываем полученные числа: 4 + 6 = 10.

Ответ: 10. Перед сложением мы получили значения обоих действий более высокой ступени. В третьем шаге можно вычислить деление и умножение по отдельности, потому что они не мешают друг другу; результат сложения от этого не изменится.

Типичные ошибки

Первая ошибка — начинать считать слева направо, не учитывая скобки. Так поступают, если смотрят только на первый знак и забывают, что скобки задают первое действие. Перед решением найди скобки и подчеркни действие внутри них; затем проверь, что именно оно выполнено первым.

Вторая ошибка — выполнять сложение раньше умножения вне скобок. Обычно так получается, когда ученик применяет правило «слева направо» ко всем действиям, а не только к действиям одной ступени. Чтобы проверить себя, сначала отметь умножение и деление: их нужно выполнить до сложения и вычитания.

Третья ошибка — при действиях одной ступени выбирать порядок по знаку или по удобству. Например, в цепочке сложения и вычитания нельзя сначала выполнить вычитание только потому, что оно кажется проще. Прочитай выражение слева направо и выполняй каждое действие последовательно; так можно проверить, что порядок не изменён.

Четвёртая ошибка — после вычисления скобок неверно переписать пример или потерять полученное число. Это случается, когда ученик торопится и сразу переходит к следующему действию. После каждого шага перепиши оставшееся выражение полностью и сравни его со старым: все числа и знаки, кроме заменённой части, должны остаться на своих местах.

Связь с другими темами

Для работы со скобками нужно уметь складывать, вычитать, умножать и делить, а также узнавать знаки этих действий. Если вычисления с числами пока даются трудно, сначала потренируйся выполнять каждое действие отдельно. Правила порядка действий пригодятся при вычислении числовых выражений и решении задач в несколько действий. Скобки помогают записать последовательность вычислений и не перепутать шаги решения.

Что запомнить

• Сначала выполняй действия в скобках.
• После скобок выполняй умножение и деление.
• Сложение и вычитание выполняй после умножения и деления.
• Действия одной ступени выполняй слева направо.
• После вычисления скобок продолжай считать с полученным результатом.