Окружность, дуга

Определения и обозначения

Окружность — замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки. Иначе говоря, линия возвращается к месту начала и не имеет концов. Окружность помогает описывать фигуры, у которых все точки границы равноудалены от центра.

Центр окружности — точка, от которой все точки окружности расположены на одинаковом расстоянии. Обычно центр отмечают точкой внутри линии и обозначают заглавной буквой, например O. Зная центр, можно установить, где начинать построение радиуса и вокруг какой точки строится окружность.

Радиус окружности — отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой. Его концы обязательно лежат в центре и на окружности, например у радиуса OA концы — O и A. Радиус показывает расстояние от центра до линии и позволяет задать размер окружности.

Дуга окружности — часть окружности между двумя её точками. Если на линии отмечены A и B, дуга AB проходит по самой окружности от A до B, а не по прямой между ними. Буквы концов помогают назвать дугу и найти её на чертеже.

Как это устроено

Чтобы построить окружность циркулем, сначала отметь точку, которая будет центром. Раздвинь ножки циркуля на нужное расстояние: оно задаёт радиус будущей окружности. Поставь иглу в отмеченный центр, а грифель — на бумагу, затем поверни циркуль вокруг иглы. Линия замкнётся, потому что грифель обойдёт полный круг, оставаясь на одинаковом расстоянии от центра.

Все радиусы одной окружности равны, потому что каждая точка её линии отстоит от центра на одно и то же расстояние. При построении это видно по циркулю: игла остаётся в центре, а промежуток от неё до грифеля не меняется. Поэтому, какой бы точке окружности ни соответствовал конец радиуса, его длина будет одинаковой. Если на рисунке радиусы показаны неравными, проверь, правильно ли ты определил центр и концы отрезков.

Чтобы распознать радиус на чертеже, сначала найди центр окружности и саму линию. Затем проверь оба конца предполагаемого отрезка: один должен совпадать с центром, второй — лежать на линии окружности. Если отрезок начинается в другой точке или заканчивается внутри окружности, он не является радиусом. Такая проверка по концам надёжнее, чем оценка длины отрезка на глаз.

Две отмеченные точки на окружности делят её линию на части. Каждую часть между этими точками называют дугой; дуга повторяет изгиб окружности, а не соединяет точки напрямую. На рисунке найди обе заданные точки и проследи линию окружности от одной до другой. Если точки обозначены A и B, рассматриваемую часть можно назвать дугой AB.

Дугу обозначают буквами её концов, например дуга AB, и находят по точкам A и B, лежащим на окружности. Между двумя точками на замкнутой линии могут быть две части: одна проходит в одну сторону, другая — в противоположную. Поэтому при чтении чертежа смотри, какую именно часть линии показывают или выделяют. Не принимай за дугу прямой отрезок AB: он соединяет те же точки, но лежит не на окружности.

Окружность и её части

Пользуйся таблицей, проверяя сначала форму объекта, а затем его положение относительно центра и линии. Для радиуса особенно важно проверить оба конца отрезка. Для дуги найди её концы и проследи именно по окружности.

Разбор задач

Задача 1. Построй окружность с центром O и радиусом 3 см. Нужно сделать так, чтобы каждая точка линии находилась от O на расстоянии 3 см. Поэтому сначала установим раствор циркуля по линейке, а затем проведём линию, не меняя его.

1. Отметь на листе точку O и поставь рядом её обозначение.
2. Приложи иглу циркуля к нулю линейки, а грифель — к отметке 3 см. Расстояние между ними должно быть ровно 3 см.
3. Поставь иглу в точку O и, удерживая её на месте, поверни циркуль так, чтобы грифель оставил замкнутую линию.

Ответ: построена окружность с центром O и радиусом 3 см. Если раствор циркуля случайно изменился, линия может оказаться неровной или не замкнуться, поэтому при проведении придерживай ножки циркуля.

Задача 2. На окружности с центром O отмечены точки A и B. Проведи радиусы OA и OB и укажи дугу между A и B. Сначала соедини каждую точку с центром: так получатся два отрезка с правильными концами. Затем найди на окружности часть линии, ограниченную точками A и B.

1. Проведи линейкой отрезок от O до A. Один его конец находится в центре, другой — на окружности, значит, OA — радиус.
2. Соедини O и B. По той же проверке OB тоже является радиусом.
3. Найди точки A и B на линии окружности и укажи её часть между ними. Обозначь её дугой AB, не подменяя её прямым отрезком AB.

Ответ: радиусы — OA и OB, дуга между заданными точками — дуга AB. Оба радиуса имеют одинаковую длину, поскольку принадлежат одной окружности.

Задача 3. Построй окружность радиусом 4 см, отметь на ней точки A, B и C. Покажи дуги AB и BC и сравни их по рисунку. Здесь требуется выделить две части одной линии по разным парам концов, а не сравнивать прямые отрезки между точками.

1. Отмерь циркулем 4 см и построй окружность, поставив иглу в выбранный центр.
2. Выбери на линии три разные точки и подпиши их A, B и C.
3. Проследи линию от A до B и выдели дугу AB. Затем отдельно найди часть линии от B до C — дугу BC.
4. Посмотри на длину выделенных частей на рисунке: какая дуга занимает больший участок окружности, та выглядит длиннее. По одному рисунку сравнение будет приблизительным.

Ответ: показаны дуги AB и BC; их видимую длину можно сравнить по рисунку. Отрезки AB и BC не являются этими дугами, потому что лежат внутри окружности, а не на её линии.

Типичные ошибки

Иногда окружностью называют всю область внутри замкнутой линии. Так происходит потому, что в быту словом «окружность» могут называть круглую фигуру целиком. Проверь себя: окружность должна быть только линией, а область внутри неё относится к кругу. Если закрасить внутренность, линия окружности всё равно останется её границей.

Другую ошибку допускают, когда радиусом называют любой отрезок, нарисованный внутри окружности. Нужно проверить его концы: один обязан находиться в центре, а другой — на окружности. Отрезок от центра до точки внутри линии не доходит до окружности, поэтому радиусом не является. Отрезок между двумя точками окружности также не подходит, если один из его концов не центр.

Можно ошибочно решить, что радиусы одной окружности имеют разную длину, особенно если чертёж нарисован от руки. На глаз отрезки иногда кажутся неодинаковыми из-за неточного рисунка или расположения линий. Вспомни, что все точки окружности равноудалены от центра, и сравнивай радиусы измерением, а не только взглядом. Если измерения заметно различаются, проверь, правильно ли выбраны центр и точки на линии.

Отрезок между двумя точками окружности иногда принимают за дугу, потому что у них совпадают концы. Но отрезок — прямая линия, а дуга изгибается и проходит по окружности. Чтобы проверить себя, проследи карандашом путь между концами: если он идёт по границе окружности, это дуга. Если путь проходит прямо внутри неё, перед тобой отрезок.

Связь с другими темами

Перед изучением темы нужно уметь различать точку и отрезок, измерять длину отрезка и пользоваться циркулем. Эти умения нужны, чтобы правильно выбрать центр, установить раствор циркуля и проверить длину радиуса. Окружность и круг связаны, но обозначают разные объекты: окружность является линией, а круг включает область внутри неё. Позднее радиус поможет понять, что такое диаметр и длина окружности, а дуги пригодятся при изучении частей круга и чертежей.

Что запомнить

• Окружность — замкнутая линия.
• Центр — точка, равноудалённая от всех точек окружности.
• Радиус соединяет центр с точкой окружности.
• Все радиусы одной окружности равны.
• Дуга — часть окружности между двумя её точками.