З Замкнутые, незамкнутые кривые линии

Определения и обозначения

Кривая линия — линия, которая не является прямой. Она может изгибаться плавно или менять направление, например линия, похожая на волну, или дуга. Если нарисовать несколько изгибов подряд, получится простая кривая линия, даже если она не напоминает знакомую фигуру. Это понятие помогает отличать такие линии от прямых и отрезков.

Замкнутая кривая линия — кривая, у которой начало и конец соединены. Если вести пальцем вдоль такой линии, можно вернуться к месту, откуда начали, не пересекая разрыв. Например, линия в форме овала замкнута, когда её концы действительно соединились. Это определение нужно, чтобы понять, образует ли линия непрерывную границу.

Незамкнутая кривая линия — кривая, у которой начало и конец не соединены. У такой линии можно найти два отдельных конца, даже если они расположены рядом. Дуга и волнистый штрих с несоединёнными концами — примеры незамкнутых линий. Это понятие помогает не принимать близко расположенные концы за соединённые.

Как это устроено

Чтобы проверить линию, сначала найди её начало и конец: это места, где линия начинается и обрывается. Затем мысленно или пальцем проследи её от одного конца до другого и посмотри, встречаются ли концы. Такой порядок удобен, потому что по отдельному участку нельзя понять, есть ли разрыв в другом месте. Если линия обведена целиком без разрыва и возвращается к началу, она замкнута.

Замкнутая линия образует границу: она отделяет внутреннюю часть от внешней. Например, у линии в форме овала можно указать область внутри неё. Незамкнутая линия не возвращается к началу, поэтому не отделяет такую область со всех сторон. Это различие связано не с размером или красотой рисунка, а с тем, образует ли граница непрерывный контур.

Прямая, отрезок и кривая — разные виды линий, и их не следует смешивать. Прямая не изгибается и продолжается в обе стороны, отрезок прямой имеет два конца, а кривая изгибается. При этом кривую линию можно разделить на замкнутую и незамкнутую по тому, соединены ли её концы. Поэтому слово «кривая» говорит о форме линии, а «замкнутая» или «незамкнутая» — о соединении её концов.

Вокруг нас можно найти линии обоих видов. Замкнутой будет линия по краю кольца или овального контура, если на ней нет разрыва; незамкнутой — открытая дуга или волнистый штрих. На рисунках похожие примеры могут быть схематичными, поэтому проверяй именно изображённую линию, а не предмет, который она напоминает. Это помогает отличить контур предмета от отдельного незамкнутого штриха.

Форма линии сама по себе не показывает, замкнута она или нет. Неровная линия может замкнуться, если её конец соединён с началом, а почти круглая может остаться открытой из-за маленького разрыва. Сначала определи, где находятся концы, и лишь потом называй линию замкнутой или незамкнутой. Так ты не будешь делать вывод только по сходству с кругом или другой фигурой.

Сравнение кривых линий

Сравнивай линии по строкам таблицы, начиная с соединения концов: это главный признак. Строка о внутренней области помогает проверить ответ, а пример подсказывает, как применить признак. Если пример выглядит иначе, всё равно проверяй концы, а не только форму.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке изображены круговая линия и дуга. Определи, какая линия замкнутая, а какая незамкнутая. Не делай вывод только по названию или похожести на круг: нужно проверить, соединяются ли концы каждой линии.

1. Проследи круговую линию по всему контуру и найди место, где заканчивается обход.
2. Если линия возвращается к началу без разрыва, её концы соединены.
3. У дуги найди оба конца: если они расположены в разных местах и не соединены, дуга незамкнутая.

Ответ: круговая линия замкнутая, если её контур не имеет разрыва; дуга незамкнутая, если её концы не соединены.

Задача 2. Из нескольких изображённых линий выбери все замкнутые и все незамкнутые. Некоторые линии могут быть похожи на окружности или иметь очень близкие концы. Поэтому каждую линию проверяй отдельно, не перенося ответ с одной на другую.

1. Выбери одну линию и проследи её от начала до конца.
2. Проверь, соединился ли конец с началом или между ними остался разрыв.
3. Запиши линию в группу замкнутых, если концы соединены; иначе запиши в группу незамкнутых.
4. Повтори проверку для каждой линии и затем просмотри, не пропущена ли какая-нибудь.

Ответ: к замкнутым относятся линии с соединёнными концами, к незамкнутым — линии с несоединёнными концами. Точный перечень зависит от изображённых линий.

Задача 3. Нарисуй одну замкнутую и одну незамкнутую кривую линию, затем объясни, как различил их. Линии могут быть любой формы: важно заранее проверить, как расположены их концы. Для примера можно изобразить овал и волнистый штрих.

1. Нарисуй кривую линию, возвращающуюся к началу, и соедини её концы.
2. Нарисуй другую кривую так, чтобы у неё оставались два отдельных конца.
3. Проследи обе линии и сравни их концы.
4. Объясни, что первая линия замкнута из-за соединения концов, а вторая незамкнута из-за разрыва.

Ответ: замкнутая линия имеет соединённые концы, незамкнутая — несоединённые. Объяснение должно опираться на проверку концов, а не на то, насколько рисунки похожи на круг.

Типичные ошибки

Ошибка — считать линию замкнутой только потому, что она похожа на круг. Глаз может не заметить маленький разрыв, а форма создаёт впечатление целого контура. Проследи линию полностью и проверь, соединился ли её конец с началом.

Близко расположенные концы иногда принимают за соединённые. Это происходит потому, что на маленьком рисунке промежуток трудно заметить. Увеличь изображение или внимательно посмотри на место встречи: если между концами есть разрыв, линия незамкнутая.

Иногда замкнутую кривую путают с любой фигурой, внутри которой можно указать область. Но классифицируют именно линию, а не закрашенную часть или предмет целиком. Чтобы проверить себя, найди начало и конец изображённой линии и установи, соединены ли они.

Разрыв на рисунке легко пропустить, если смотреть только на общий вид. Тогда незамкнутую линию ошибочно называют замкнутой. Проведи взглядом по всему контуру медленно, уделяя внимание каждому участку, и проверь, не обрывается ли линия до возвращения к началу.

Связь с другими темами

Чтобы изучать замкнутые и незамкнутые кривые, нужно уметь отличать прямую, отрезок и кривую линию. У прямой и отрезка форма не изгибается, а кривая меняет направление; это помогает сначала определить вид линии. Затем для кривой проверяют, соединены ли её концы.

Различение замкнутых и незамкнутых линий пригодится при изучении геометрических фигур и их границ. У замкнутой линии можно выделить область внутри контура, поэтому она помогает описывать границы фигур. Проверка концов позволяет понять, действительно ли линия образует целую границу.

Что запомнить

• Кривая линия не является прямой.
• У каждой изображённой линии можно определить её концы.
• У замкнутой кривой линии начало и конец соединены.
• У незамкнутой кривой линии начало и конец не соединены.
• Чтобы определить вид линии, нужно проверить, соединены ли её концы.
• Форма линии сама по себе не определяет, замкнута она или нет.