З Замкнутые, незамкнутые ломаные линии

Определения и обозначения

Ломаная линия — линия, составленная из нескольких отрезков, соединённых последовательно концами. Иначе говоря, каждый следующий отрезок начинается там, где заканчивается предыдущий. Это определение помогает отличить ломаную от прямой или линии с закруглёнными частями.

Звено ломаной — один из отрезков, из которых составлена ломаная линия. Если мысленно разделить линию в точках соединения, каждую её прямую часть можно рассматривать отдельно. Понятие звена нужно, чтобы описывать строение ломаной и считать её части.

Замкнутая ломаная линия — ломаная, у которой конец последнего звена соединён с началом первого. В результате получается непрерывный путь без отдельных концов. Такое определение помогает распознать ломаные, которые образуют границу фигуры.

Незамкнутая ломаная линия — ломаная, у которой начало первого и конец последнего звена не соединены. У неё остаются две крайние точки, между которыми нет звена. Это понятие позволяет отличить открытый путь от линии, которая возвращается к началу.

Как это устроено

Ломаную составляют из отрезков: конец одного звена соединяют с началом следующего. Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками, поэтому каждый участок ломаной остаётся прямым. Если хотя бы один участок закруглён, линия уже не отвечает этому описанию и не является ломаной.

У ломаной можно найти звенья и вершины — точки, в которых соседние звенья соединяются. Звенья удобно считать по прямым частям, а вершины — по точкам соединения. Эти способы подсчёта различаются, потому что звено является отрезком, а вершина — точкой. При рассмотрении рисунка проследи линию по порядку и отмечай каждую часть или точку только один раз.

Чтобы определить, замкнута ли ломаная, проверь её крайние точки: начало первого звена и конец последнего. Для этого проследи линию от одного конца до другого и посмотри, соединены ли они. Проверять нужно именно всю ломаную, потому что соединение соседних звеньев само по себе ещё не означает, что линия замкнулась.

У замкнутой ломаной крайние точки совпадают, поэтому путь образует непрерывный круговой обход. Если начать движение по линии с любой точки и следовать по звеньям, можно вернуться к началу, не отрываясь от неё. Это возможно именно потому, что последний участок снова соединён с первым.

У незамкнутой ломаной крайние точки не совпадают, поэтому у линии остаются два отдельных конца. Пройдя по всем звеньям от одного конца, нельзя продолжить путь по ломаной и вернуться к начальной точке: соединяющего звена нет. Не путай отдельные концы с вершинами внутри линии, где соединяются соседние звенья.

Сравнение замкнутой и незамкнутой ломаных линий

Сначала найди начало первого звена и конец последнего, затем сравни их. Ответы в строках таблицы связаны между собой: если крайние точки не соединены, остаются два конца и нельзя вернуться к началу. Примеры описывают, что нужно искать в рисунке, а не задают единственную форму ломаной.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке изображена линия из трёх последовательно соединённых отрезков. Определи, является ли она ломаной.

1. Проследим линию от первого отрезка к последнему. Так мы проверим, что её части соединены последовательно.
2. Проверим каждую часть: по условию линия состоит из отрезков, а не из кривых участков.
3. Так как линия составлена из отрезков и соседние отрезки соединены концами, она подходит под определение ломаной. Замкнутость для ответа на этот вопрос определять не требуется.

Ответ: да, это ломаная линия.

Задача 2. Рассмотри ломаную из четырёх звеньев. Её начало и конец не соединены. Назови её вид и покажи крайние точки.

1. Найдём начало первого звена — это один край линии.
2. Проследим все четыре звена и найдём конец последнего. Это второй край.
3. По условию эти точки не соединены, значит, крайние точки не совпадают. Следовательно, перед нами незамкнутая ломаная.

На чертеже отметь точку, от которой начинается первое звено, и точку, в которой заканчивается последнее. Не отмечай вместо них вершины внутри линии: там сходятся соседние звенья, но это не её крайние точки.

Ответ: ломаная незамкнутая; крайние точки — начало первого и конец последнего звена.

Задача 3. Начерти замкнутую ломаную из пяти звеньев, обозначь её вершины и объясни, почему она замкнутая.

1. Поставь пять точек так, чтобы из них можно было составить линию без кривых частей.
2. Соедини точки отрезками по порядку, а последний отрезок проведи от последней точки к первой. Получится пять звеньев, каждое из которых соединяется со следующим.
3. Обозначь вершинами точки соединения звеньев, в том числе точку, где последнее звено встречается с первым. Проверь, что начальная и конечная точки совпадают.

Если последнюю точку оставить отдельно от первой, получится незамкнутая линия, даже если они расположены близко. Поэтому перед завершением чертежа проверь именно последнее соединение.

Ответ: нужно начертить пять последовательно соединённых отрезков и соединить конец последнего звена с началом первого; такая ломаная замкнутая.

Типичные ошибки

Называть ломаной линию с кривым участком — ошибка, потому что ломаная состоит только из отрезков. Её допускают, когда смотрят на общий вид линии, а не проверяют каждый участок. Проведи взглядом по всей линии и убедись, что каждый её кусок прямой; кривой части быть не должно.

Считать ломаную замкнутой, если её концы расположены близко, неверно: близость не соединяет точки. Такую ошибку легко допустить на маленьком или неаккуратном чертеже. Проверь, есть ли отрезок, соединяющий конец последнего звена с началом первого; если промежуток остаётся, ломаная незамкнутая.

Путать звенья и вершины — значит принимать отрезки за точки или точки за отрезки. Обычно это происходит, если считать элементы, не называя, что именно перед тобой. Проверь себя: звено можно провести и измерить, а вершина — это точка, где встречаются соседние звенья.

Определять вид ломаной по отдельному участку недостаточно, потому что для замкнутости важны оба крайних конца всей линии. Ошибка появляется, когда не прослеживают ломаную от начала до конца. Найди начало первого звена и конец последнего, а затем проверь, соединены ли именно они.

Связь с другими темами

Чтобы изучать ломаные, нужно уметь распознавать и чертить отрезок, а также находить его концы. Это помогает видеть, из каких прямых частей собрана линия. Без умения отличать отрезок от других линий трудно проверить, является ли фигура ломаной.

Понятия звена и вершины пригодятся при изучении многоугольников. Их стороны связаны с отрезками, а вершины — с точками, где стороны соединяются. Поэтому умение считать звенья и находить точки соединения помогает описывать такие фигуры.

Различение замкнутых и незамкнутых линий полезно при распознавании геометрических фигур и построении чертежей. Проверка крайних точек подсказывает, образует ли линия непрерывную границу или остаётся открытой. Это помогает точнее изображать и описывать геометрические объекты.

Что запомнить

• Ломаная линия состоит из отрезков, соединённых последовательно.
• Каждый отрезок ломаной называется звеном.
• Точки соединения соседних звеньев называются вершинами.
• У замкнутой ломаной начало и конец соединены.
• У незамкнутой ломаной начало и конец не соединены.
• Чтобы определить вид ломаной, проверь её крайние точки.