4.5. Деление десятичных дробей (продолжение)

Определения и обозначения

Деление десятичных дробей — действие, с помощью которого находят число, которое при умножении на делитель даёт делимое. Например, если 8,4 : 4 = 2,1, то 2,1 · 4 = 8,4. Такое действие нужно, когда известны общий результат и число равных частей, а нужно узнать величину одной части.

Деление на десятичную дробь — способ деления, при котором делитель заменяют натуральным числом переносом запятой. Одновременно запятую переносят и в делимом, чтобы частное осталось прежним. Это правило позволяет вместо непривычного деления, например на 0,8, выполнить деление на 8.

Частное — результат деления делимого на делитель. В записи 7,56 : 0,8 = 9,45 числом 9,45 является частное. Оно показывает, какое число нужно взять, чтобы после умножения на делитель получить делимое.

Проверка деления — умножение частного на делитель для получения делимого. Если вычисление верно, произведение совпадает с числом, которое делили. Проверка помогает обнаружить ошибку в вычислениях или в положении запятой.

Как это устроено

Перенос запятой в делимом и делителе на одинаковое число знаков не меняет частное, потому что так оба числа умножаются на одну и ту же степень числа 10. Например, умножение обоих чисел на 10 превращает отношение 7,56 : 0,8 в 75,6 : 8. Частное остаётся тем же: число, которое в 0,8 раз даёт 7,56, в 8 раз даёт 75,6. Если изменить только одно число, отношение изменится, поэтому переносить запятую нужно в обеих частях деления.

Чтобы делитель-десятичная дробь стал натуральным числом, посчитай цифры после запятой в делителе и перенеси запятую вправо на столько же знаков. На столько же знаков вправо перенеси запятую и в делимом. Например, у 0,24 две цифры после запятой, поэтому при делении на 0,24 оба числа умножают на 100. После преобразования делитель равен 24, и делить на него проще.

Далее выполняй обычное деление натуральных чисел или десятичной дроби на натуральное число. Если после переноса запятой в делимом не хватает цифр, приписывай нули справа: это не меняет число, поскольку 3,6 и 3,60 равны. Например, 3,6 : 0,24 превращается в 360 : 24: два знака переноса обеспечиваются записью 3,60, а получившееся деление даёт 15. При делении десятичной дроби на натуральное число дели цифры по порядку, а запятую в частном ставь при переходе к цифрам после запятой в делимом.

Деление на 0,1, 0,01 и другие дроби, в которых единица делится на степень 10, можно заменить умножением на 10, 100 и далее. Например, деление на 0,01 означает, что нужно узнать, сколько сотых содержится в числе; таких частей в 4,7 ровно 470. Это также следует из переноса запятой в обоих числах: делитель 0,01 превращается в 1, а делимое умножается на 100. Поэтому 4,7 : 0,01 = 470.

Перед вычислением полезно прикинуть, каким должен быть ответ, а после — проверить его умножением. Если делишь на число меньше 1, частное обычно больше делимого: в 4,7 содержится 47 десятых. При проверке умножь частное на исходный делитель и сравни результат с делимым. Делить на нуль нельзя, потому что не существует числа, которое при умножении на нуль даст ненулевое делимое.

Случаи деления десятичных дробей

Сначала найди в таблице случай, который совпадает с примером: делитель натуральный, десятичный или равен одной из дробей вида 0,1; 0,01. Затем выполни указанное преобразование и проверь, не нужно ли дописать нули. В конце оцени размер ответа и при необходимости проверь его умножением.

Разбор задач

Задача 1. Вычислить: 8,4 : 4. Делитель здесь натуральное число, поэтому менять его и переносить запятую в делимом не нужно. Разделим 8,4 на 4 обычным способом: в частном получится целая часть 2 и десятая часть 1. Запишем запятую между этими частями.

1. Разделим 8 на 4 и получим 2 целых.
2. Поставим запятую в частном, потому что дальше делим десятые доли.
3. Разделим 4 десятых на 4 и получим 1 десятую.

Ответ: 2,1. Проверка: 2,1 · 4 = 8,4, значит деление выполнено правильно. Ответ разумен: четыре равные части числа 8,4 меньше самого числа.

Задача 2. Вычислить: 7,56 : 0,8. Делитель содержит одну цифру после запятой, поэтому перенесём запятую в обоих числах на один знак вправо. Так делитель станет натуральным числом 8, а частное не изменится. Теперь останется выполнить деление 75,6 : 8.

1. Умножим делимое и делитель на 10: 7,56 : 0,8 = 75,6 : 8.
2. Разделим 75 на 8: получим 9, в остатке 3. В частном поставим запятую перед делением десятых.
3. Снесём 6 десятых: 36 десятых разделим на 8, получим 4 десятых, останется 4 десятых.
4. Припишем к остатку ноль: 40 сотых разделим на 8, получим 5 сотых.

Ответ: 9,45. Проверка: 9,45 · 0,8 = 7,56. Кроме того, деление на число меньше единицы дало число больше делимого, что соответствует ожидаемому результату.

Задача 3. Вычислить: 3,6 : 0,24. В делителе две цифры после запятой, значит, переносим запятую на два знака в обоих числах. В записи делимого после запятой пока только одна цифра, поэтому допишем ноль: 3,6 = 3,60. После преобразования получим деление натуральных чисел 360 : 24.

1. Умножим делимое и делитель на 100: 3,6 : 0,24 = 360 : 24.
2. Подберём число, на которое нужно умножить 24, чтобы получить 360: 24 · 10 = 240, остаётся 120.
3. К 240 прибавим ещё 24 · 5 = 120, поэтому 24 · 15 = 360.
4. Запишем частное: 360 : 24 = 15.

Ответ: 15. Проверка: 15 · 0,24 = 3,6. Ноль в записи 3,60 не изменил делимое, а помог правильно выполнить перенос запятой.

Типичные ошибки

Переносят запятую только в делителе, например превращают 7,56 : 0,8 в 7,56 : 8. Так делают, когда помнят о необходимости получить натуральный делитель, но забывают, что изменяется и значение всего деления. Проверь себя: делимое и делитель должны быть умножены на одно и то же число. Здесь правильное преобразование — 75,6 : 8.

Переносят запятую в делимом и делителе на разное число знаков. Тогда одно число умножается, например, на 10, а другое — на 100, поэтому частное меняется. Ошибка часто возникает, если считают знаки только в одном числе или теряют запятую при записи. Сосчитай, на сколько знаков передвинул запятую в делителе, и проверь, что в делимом сделано столько же переносов.

Не приписывают нули к делимому, если для переноса запятой не хватает цифр. Например, в 3,6 : 0,24 нужно получить 360 : 24, а не пытаться перенести запятую в 3,6 на два знака без дополнительной цифры. Эту ошибку допускают, потому что забывают: 3,6 можно записать как 3,60 без изменения числа. Проверь количество знаков и добавь нули справа, если они нужны.

Неверно ставят запятую в частном, когда механически делят получившиеся числа и не оценивают ответ. Это возможно, если забыть, что делимое всё ещё записано десятичной дробью, или принять промежуточный остаток за готовый результат. После вычисления умножь частное на делитель: произведение должно быть равно делимому. При делении на число меньше 1 также проверь, что ответ обычно больше делимого.

Связь с другими темами

Для деления десятичных дробей нужны навыки деления натуральных чисел, записи десятичных дробей и умножения или деления на 10, 100 и 1000. Правило переноса запятой опирается на свойство частного: если умножить делимое и делитель на одно и то же ненулевое число, частное не изменится. Оно дополняет правила умножения десятичных дробей. Деление пригодится при решении уравнений и текстовых задач на цену, расход, скорость, а также при вычислениях с величинами.

Что запомнить

• Чтобы разделить на десятичную дробь, преврати делитель в натуральное число.
• Запятую в делимом переноси на столько же знаков, сколько в делителе.
• Если цифр в делимом не хватает, справа можно приписать нули.
• Деление на 0,1; 0,01; 0,001 равносильно умножению на 10; 100; 1000.
• Нельзя делить на нуль.
• Результат можно проверить умножением частного на делитель.