"Математика", Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др. / Под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф.
Деление десятичных дробей помогает находить, сколько раз одна величина содержится в другой, и решать задачи с деньгами, длиной, массой и скоростью. На натуральное число дробь делят почти так же, как целые числа, внимательно ставя запятую в частном. Если делитель тоже десятичный, делимое и делитель умножают на одну и ту же степень 10, чтобы делитель стал натуральным. Ответ проверяют умножением и оценивают по величине делителя.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Деление десятичных дробей — действие, при котором по делимому и делителю находят частное. Делимое — число, которое делят, а делитель показывает, на сколько частей или сколько раз его нужно разделить. Это действие нужно, например, чтобы узнать цену одной вещи, если известна стоимость нескольких одинаковых вещей.
Частное — число, которое при умножении на делитель даёт делимое. Например, в записи 7,2 : 3 = 2,4 число 2,4 — частное, потому что 2,4 × 3 = 7,2. Это определение помогает не только понять смысл деления, но и проверить вычисление.
Деление десятичной дроби на натуральное число — случай, когда запятую в частном ставят после завершения деления целой части и продолжают деление цифр дробной части. Например, при вычислении 7,2 : 3 сначала делят целую часть 7, а затем переходят к цифре после запятой. Так положение запятой в частном соответствует разрядам делимого.
Перенос запятой в делимом и делителе — одновременное умножение обоих чисел на 10, 100, 1000 и так далее, чтобы превратить делитель в натуральное число. Например, при делении на 1,2 оба числа умножают на 10. Этот приём упрощает деление и сохраняет значение частного.
При делении десятичной дроби на натуральное число можно пользоваться знакомым делением столбиком. Пока делят целую часть, вычисление ведут так же, как с натуральными числами. Когда переходят через запятую делимого к его дробной части, запятую записывают и в частном: так целые разряды отделяются от дробных. Например, в 7,2 : 3 сначала делят 7, затем продолжают вычисление с десятыми.
Иногда целая часть делимого ещё не поделилась полностью или при делении появляется остаток. Тогда деление продолжают после запятой: к остатку приписывают следующую цифру дробной части, а если цифр уже нет — ноль. Приписывание нуля справа не меняет значение делимого, ведь 4,5 и 4,50 — одно и то же число. Поэтому можно получить следующие цифры частного, не изменив исходную задачу.
Делить на десятичную дробь неудобно, потому что в делителе есть запятая. Чтобы убрать её, умножают делитель на 10, 100 или другое подходящее число; но тогда для сохранения частного делимое умножают на то же число. Если оба числа увеличить одинаковое количество раз, число групп делителя, содержащихся в делимом, останется прежним. Поэтому 45,6 : 1,2 превращается в 456 : 12.
Количество знаков переноса выбирают по делителю, а не по делимому. Посчитай, сколько цифр стоит после запятой в делителе: одна цифра означает умножение обоих чисел на 10, две — на 100, три — на 1000. Так запятая делителя оказывается справа от последней цифры, и он становится натуральным. Если в делимом цифр после запятой меньше, недостающие нули можно дописать.
После вычисления полезно проверить ответ умножением: частное × делитель должно равняться делимому. Проверка обнаруживает ошибки в вычислениях и постановке запятой. Можно также прикинуть размер ответа: деление на число больше 1 уменьшает число, а деление на число меньше 1 увеличивает его. Например, деление на 0,5 означает, что нужно посчитать, сколько половин содержится в числе, поэтому частное становится больше делимого.
| Случай | Основной приём | Что происходит с запятой | Пример |
|---|---|---|---|
| Деление десятичной дроби на натуральное число | Делить как натуральные числа и продолжать деление дробной части | Запятую в частном ставят после деления целой части делимого | 7,2 : 3 = 2,4 |
| Деление на десятичную дробь | Умножить делимое и делитель на одну и ту же степень 10, затем делить на натуральное число | В делимом и делителе запятая переносится вправо на одинаковое число знаков | 45,6 : 1,2 = 456 : 12 |
| Делитель меньше единицы | Применить правило переноса запятой и проверить увеличение частного | Частное обычно оказывается больше делимого | 5,04 : 0,12 = 504 : 12 |
Сначала определи, какой случай перед тобой, а затем выбери приём из соответствующей строки. В примерах с десятичным делителем проверь, что в обоих числах запятая перенесена одинаково. Последняя строка напоминает оценить размер ответа, если делитель меньше единицы.
Делитель здесь натуральный, поэтому менять числа не требуется. Нужно разделить целую и дробную части по порядку, а запятую в частном поставить при переходе к десятым. Проверим результат умножением на 3.
Ответ: 2,4.
Делитель 1,2 — десятичная дробь, поэтому сперва превратим его в натуральное число. После запятой в делителе одна цифра, значит, оба числа нужно умножить на 10. Затем останется выполнить обычное деление и проверить его обратным действием.
Ответ: 38.
В делителе 0,15 две цифры после запятой. Поэтому умножаем оба числа на 100: делитель станет натуральным, а делимое будет равно 1837,5. Деление продолжаем с дробной частью и затем проверяем умножением, чтобы не потерять запятую.
Ответ: 122,5.
Переносят запятую только в делителе, а делимое оставляют прежним. Так частное меняется, потому что числа уже не умножены на одинаковое значение; ошибка часто возникает из-за спешки. Проверь, что в записи преобразования запятая сдвинулась в обоих числах на одинаковое число знаков.
Переносят запятую на число знаков, не совпадающее с количеством цифр после запятой в делителе. Например, для 0,15 нужно два знака, а не один; иначе делитель не станет натуральным. Перед вычислением посчитай цифры после запятой именно в делителе и сравни с переносом в обоих числах.
Запятую в частном ставят сразу после первой цифры делимого, не учитывая деление целой части и наличие нулей. Из-за этого дробная часть может оказаться не на своём месте, особенно если целая часть делимого меньше делителя. Проверь, дошло ли деление до запятой делимого; при необходимости сначала запиши 0 в целой части частного.
Не приписывают нули к делимому при продолжении деления и останавливаются на остатке. Тогда ответ получается неполным или деление кажется невозможным; нередко забывают, что нули можно дописывать после запятой. Убедись, что использованы все цифры, а при остатке и необходимости получить следующие цифры справа добавлены нули.
Перед этой темой нужны знания о разрядном составе десятичных дробей, делении натуральных чисел, свойствах частного и умножении на 10, 100 и 1000. Они помогают правильно продолжать деление и переносить запятую. Новое умение пригодится в текстовых задачах с деньгами, метрическими и скоростными величинами, когда нужно найти цену, длину или время на единицу. Позже деление десятичных дробей будет использоваться при изучении отношений, процентов, пропорций и преобразований выражений.
Почему при делении на десятичную дробь нужно переносить запятую и в делимом, и в делителе?
Так мы умножаем и делимое, и делитель на одно и то же число. Частное при этом не меняется: например, 45,6 : 1,2 = 456 : 12. Если изменить только делитель, значение частного изменится.
На сколько знаков переносить запятую?
Посчитай цифры после запятой в делителе и перенеси запятую вправо на столько же знаков в обоих числах. Например, в числе 0,15 две цифры после запятой, поэтому оба числа умножают на 100. Если в делимом цифр не хватает, справа дописывают нули.
Что делать, если цифр в делимом не хватает для продолжения деления?
Припиши к делимому справа один или несколько нулей: его значение от этого не изменится. Нули позволяют продолжить деление после запятой и получить нужные цифры частного.
Где ставить запятую в частном?
При делении десятичной дроби на натуральное число запятую в частном ставят, когда закончили делить целую часть делимого и переходят к дробной. Если целая часть делимого меньше делителя, в частном сначала записывают 0, а затем ставят запятую.
Как проверить, правильно ли выполнено деление?
Умножь полученное частное на делитель: должно получиться делимое. Ещё оцени результат: при делении на число больше 1 частное меньше делимого, а при делении на число меньше 1 — больше.
4.4. Деление десятичных дробей
