"Математика", Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф., Суворова С.Б. и др. / Под ред. Дорофеева Г.В., Шарыгина И.Ф.
Умножение десятичных дробей помогает находить стоимость покупки, массу нескольких предметов, длину и площадь. Сначала дроби умножают как натуральные числа, не обращая внимания на запятые, а затем расставляют запятую с учётом разрядов. Количество цифр после запятой в произведении равно общему количеству таких цифр в обоих множителях. Если цифр не хватает, слева дописывают нули.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Десятичная дробь — это запись числа, в которой после запятой указаны доли единицы: десятые, сотые, тысячные и так далее. Например, в числе 4,27 цифра 2 означает 2 десятых, а цифра 7 — 7 сотых. При умножении нужно знать количество цифр после запятой, потому что оно определяет положение запятой в ответе.
Умножение десятичных дробей — действие, при котором находят, во сколько раз одно число увеличивает другое. Оно связано с умножением натуральных чисел: сначала считают цифры без запятых, а затем учитывают разряды дробной части. Такое правило позволяет выполнять вычисления обычным способом, не заменяя каждую дробь длинной записью.
Произведение десятичных дробей — результат умножения двух или нескольких десятичных чисел. Его получают после умножения цифр и правильной постановки запятой. Запись результата должна показывать не только сами цифры, но и их разрядное значение.
Десятичную дробь можно записать обыкновенной дробью со знаменателем 10, 100 или 1000. Например, 2,4 = 24/10, а 1,35 = 135/100. При умножении знаменатели тоже перемножаются, поэтому общее число нулей в них равно общему числу цифр после запятой в обоих множителях. Именно поэтому сначала можно умножить числители, то есть записи без запятых.
Пусть нужно найти 2,4 · 1,3. Числа 24 и 13 дают произведение 312, а в исходных множителях всего два десятичных знака: один у 2,4 и один у 1,3. Значит, результат должен иметь две цифры после запятой. Отсчитываем справа две цифры и получаем 3,12.
Иногда в произведении недостаточно цифр для нужного количества десятичных знаков. Тогда слева приписывают нули, потому что это не меняет значения целого числа, но позволяет правильно показать доли единицы. Например, при трёх знаках после запятой число 24 записывается как 0,024: ноль перед запятой обозначает отсутствие целых единиц.
При умножении на 10, 100 или 1000 запятая сдвигается вправо на один, два или три разряда. Это происходит потому, что каждая единица меняется на более крупную: 0,7 · 10 = 7, а 3,46 · 100 = 346. Если справа цифр не хватает, их заменяет ноль: 2,5 · 1000 = 2500.
Переместительное свойство позволяет менять множители местами: 0,4 · 2,5 = 2,5 · 0,4. Сочетательное свойство помогает объединять удобные множители, например 0,25 · 4 · 1,6 = 1 · 1,6 = 1,6. Так вычисление становится короче, а результат легче проверить.
| Случай | Как вычислять | Что проверить |
|---|---|---|
| Две десятичные дроби | Умножить числа без запятых, затем отделить справа общее количество десятичных знаков. | Число знаков после запятой в ответе равно сумме знаков в множителях. |
| Множитель — натуральное число | Умножить десятичную дробь на это число обычным способом, сохранив разряды дробной части. | Оценить, во сколько примерно раз увеличилось число. |
| Умножение на 10, 100, 1000 | Сдвинуть запятую вправо на 1, 2 или 3 разряда. | При необходимости дописать нули справа. |
| В произведении не хватает цифр для запятой | Приписать нули слева и поставить запятую после нужного числа знаков. | Перед запятой может появиться 0 целых. |
Пользуйтесь таблицей как коротким алгоритмом: сначала определите вид примера, затем выполните соответствующее действие. После вычисления отдельно пересчитайте десятичные знаки и оцените величину ответа.
Оба множителя имеют по одной цифре после запятой, поэтому в результате должно быть две цифры после запятой.
Ответ: 3,12.
В первом множителе две цифры после запятой, во втором — одна. Значит, произведение должно содержать три десятичных знака.
Ответ: 0,024.
Масса нескольких одинаковых упаковок находится умножением массы одной упаковки на их количество. Записываем произведение 1,25 · 2,4.
Ответ: 3 кг.
Считать знаки только в одном множителе. Так делают, когда смотрят лишь на первое число и забывают второе. Пересчитайте цифры после запятой в обоих множителях и сложите их количества.
Ставить запятую наугад. Ошибка возникает, если пытаться сразу умножать записи с запятыми. Сначала выполните умножение без запятых, а затем отсчитайте нужное число цифр справа.
Не приписывать нули слева. Если произведение короткое, результат может ошибочно стать слишком большим, например 24 вместо 0,024. Проверьте, хватает ли цифр для всех десятичных знаков.
Механически дописывать нули при умножении на 10, 100 или 1000. Нули появляются не всегда: главное — правильно сдвинуть запятую вправо. После действия проверьте, увеличилось ли число примерно в 10, 100 или 1000 раз.
Для умножения десятичных дробей нужны знания о разрядах, умножении натуральных чисел и дробях со знаменателями 10, 100 и далее. Если понимать значение каждой цифры после запятой, постановка запятой в произведении становится понятной.
Это действие встречается в задачах на стоимость, массу, длину и площадь. Освоив умножение, легче перейти к делению десятичных дробей и вычислениям с величинами.
Почему при умножении сначала можно не обращать внимания на запятые?
Десятичную дробь можно представить как обыкновенную дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее. Поэтому сначала удобно умножить целые части записей, а положение запятой восстановить по количеству десятичных знаков.
Как определить, где поставить запятую в произведении?
Посчитайте цифры после запятой в обоих множителях и сложите их количества. Справа в полученном произведении отсчитайте столько цифр и поставьте перед ними запятую.
Что делать, если цифр в произведении меньше, чем нужно десятичных знаков?
Слева от полученного произведения приписывают необходимое количество нулей. Например, 6 · 4 = 24, а при четырёх десятичных знаках результат записывают как 0,0024.
Почему при умножении на 10 запятая смещается вправо?
Умножение на 10 увеличивает каждую разрядную единицу в десять раз. Поэтому цифры переходят на один разряд влево относительно запятой, а сама запятая в записи числа сдвигается вправо на один знак.
Как проверить, что полученный результат разумен?
Оцените множители примерно и сравните результат с ожидаемым. Например, 1,25 · 2,4 близко к 1 · 2,5, значит ответ около 3 выглядит правдоподобно.
4.3. Умножение десятичных дробей
