§ 4. Умножение десятичных дробей

Определения и обозначения

Десятичная дробь — это число, записанное с запятой, например 4,37. Цифра 3 означает три десятых, а цифра 7 — семь сотых. Такое представление нужно, чтобы удобно записывать части единицы и выполнять действия с ними.

Умножение десятичных дробей — действие, с помощью которого находят произведение двух десятичных дробей. Произведение показывает результат повторного сложения или изменение величины в несколько раз. Это умение используется, например, при вычислении площади и стоимости.

Правило умножения десятичных дробей: сначала умножают числа, не обращая внимания на запятые, а затем отделяют запятой справа нужное количество цифр. Количество цифр равно сумме знаков после запятой в обоих множителях. Если цифр не хватает, слева дописывают нули.

Как это устроено

Десятичную дробь можно заменить обыкновенной дробью со знаменателем, равным степени десяти: 0,7 = 7/10, 0,35 = 35/100, 2,406 = 2406/1000. При умножении таких дробей перемножают числители, а знаменатели дают 10 · 10, 100 · 10 и другие степени десяти. Именно поэтому в ответе появляется столько знаков после запятой, сколько их было у двух множителей вместе.

Запятую временно убирают, потому что цифры справа и слева от неё можно рассматривать как единое натуральное число. Например, в числе 2,4 число 24 является числителем дроби 24/10. Сначала находят произведение числителей обычным способом, а положение запятой восстанавливают после учёта знаменателей.

В каждом множителе считают знаки после запятой, а затем складывают эти количества. Если у первого множителя два знака, а у второго один, в ответе отделяют три цифры справа. Такое правило учитывает общий знаменатель, который получился при перемножении обыкновенных дробей.

Иногда после умножения цифр получается слишком короткая запись. Например, в 6 · 4 = 24 нужно отделить три цифры справа, но цифр только две. Поэтому слева дописывают ноль: 024, а затем ставят запятую — 0,024.

При умножении десятичной дроби на натуральное число запятая учитывает только дробную часть первого множителя: 3,6 · 4 = 36 · 4 = 144, значит, ответ 14,4. При умножении на 10, 100 или 1000 запятая сдвигается вправо на один, два или три разряда: 2,37 · 100 = 237. Если разрядов справа недостаточно, справа приписывают нули.

Случаи умножения десятичных дробей

Сначала определите, к какому случаю относится пример. Затем выполните умножение и отдельно проверьте положение запятой. Таблица помогает не смешивать правило для двух дробей, правило для натурального множителя и перенос запятой при умножении на 10, 100 или 1000.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 2,4 · 1,3. В обоих множителях по одному знаку после запятой, поэтому в ответе нужно отделить две цифры. Запятые временно убираем и работаем с числами 24 и 13.

1. Умножаем натуральные числа: 24 · 13 = 312.
2. Считаем общее число знаков после запятой: 1 + 1 = 2.
3. Отделяем справа две цифры: 3,12.

Ответ: 3,12. Проверка показывает, что 2,4 примерно в два раза больше единицы, поэтому результат должен быть немного больше 2,4, а не 31,2.

Задача 2. Вычислите 0,06 · 0,4. В первом множителе два знака после запятой, во втором один, всего нужно отделить три цифры. После умножения без запятых получится короткая запись, поэтому понадобятся нули.

1. Умножаем числа без запятых: 6 · 4 = 24.
2. Складываем количества знаков после запятой: 2 + 1 = 3.
3. Дописав ноль слева, получаем 024 и отделяем три цифры: 0,024.

Ответ: 0,024. Ноль перед запятой показывает, что произведение меньше единицы.

Задача 3. Прямоугольный участок имеет длину 3,25 м и ширину 1,6 м. Найдите его площадь. Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину: S = a · b. Значит, нужно перемножить 3,25 и 1,6, а ответ записать в квадратных метрах.

1. Умножаем без запятых: 325 · 16 = 5200.
2. Считаем знаки после запятой: 2 + 1 = 3.
3. Отделяем справа три цифры: 5,200, то есть 5,2.

Ответ: 5,2 м². Нули в конце десятичной дроби можно не писать, потому что 5,200 = 5,2.

Типичные ошибки

Иногда отделяют столько знаков, сколько было только в одном множителе. Так происходит, если считают дробную часть лишь первого числа. Проверьте себя: отдельно запишите количество знаков у каждого множителя и сложите его.

Другая ошибка — не дописать нули слева, когда произведение получилось коротким. Например, из 24 нельзя сразу получить 0,24, если нужно отделить три цифры. Запишите перед 24 ноль и только потом поставьте запятую: 0,024.

Некоторые ориентируются на количество цифр до запятой. Это неверно, потому что положение запятой зависит от знаков после запятой, а не от целых частей множителей. Для проверки сосчитайте именно цифры справа от запятых.

При умножении на 10, 100 или 1000 иногда просто приписывают нули к числу. Такой способ может дать неверный разряд, поэтому нужно переносить запятую вправо на 1, 2 или 3 позиции. Например, 4,5 · 100 = 450, а не 4,500 как результат действия.

Связь с другими темами

До изучения правила нужно уметь умножать натуральные числа и понимать разрядный состав десятичной дроби. Без этого трудно правильно выполнить вычисление без запятых и определить число знаков в ответе.

Связь с обыкновенными дробями объясняет, почему работает правило постановки запятой. Запись 0,35 = 35/100 показывает, откуда берутся сотые и почему знаменатели при умножении влияют на дробную часть результата.

Умножение десятичных дробей нужно при нахождении площади, стоимости и других величин. Оно помогает переводить условие задачи на язык произведений и записывать ответ с подходящими единицами измерения.

Что запомнить

• Сначала перемножают числа, не обращая внимания на запятые.
• В произведении отделяют справа столько знаков, сколько знаков после запятой было в обоих множителях вместе.
• Если цифр для дробной части не хватает, слева дописывают нули.
• При умножении десятичной дроби на натуральное число учитывают только дробную часть десятичного множителя.
• При умножении на 10, 100 или 1000 запятая перемещается вправо на 1, 2 или 3 разряда.
• После вычисления полезно оценить, разумен ли порядок величины ответа.