§ 5. Деление десятичной дроби на натуральное число

Определения и обозначения

Деление десятичной дроби на натуральное число — действие, при котором находят число, равное результату деления дроби на натуральный делитель. Например, в записи 36,8 : 4 число 36,8 делят на 4. Это нужно, чтобы узнать размер одной равной части.

Частное — результат деления десятичной дроби на натуральное число. В примере 36,8 : 4 = 9,2 число 9,2 является частным. По нему можно понять, сколько приходится на одну часть.

Деление столбиком — письменный способ последовательного деления цифр числа с учётом их разрядов. Разряды — это единицы, десятые, сотые и другие позиции цифр. Такой способ помогает не перепутать порядок вычислений и правильно поставить запятую.

Остаток — часть делимого, которая остаётся после очередного деления и учитывается при продолжении вычисления. Например, при делении 7 на 3 получается 2 и остаток 1. В делении десятичных дробей остаток превращают в следующие цифры частного.

Как это устроено

Десятичную дробь делят столбиком почти так же, как натуральное число, потому что её цифры также расположены по разрядам. Сначала работают с целой частью, затем переходят к десятым, сотым и дальше. Порядок цифр сохраняется, поэтому каждая найденная цифра частного относится к своему разряду.

Запятую в частном ставят после того, как закончено деление целой части делимого. До запятой записывают целые единицы результата, а после неё — доли единицы. Например, при делении 36,8 на 4 сначала получают 9 целых, затем переходят к цифре 8 в разряде десятых, поэтому частное равно 9,2.

Если в очередном разряде цифр не хватает, к делимому можно приписать нули справа после запятой. Это не меняет числа: 5,4, 5,40 и 5,400 имеют одно значение, потому что добавленные нули обозначают те же самые доли. Благодаря этому деление можно продолжать столько шагов, сколько требуется для точного результата.

После использования всех цифр делимого может остаться остаток. Тогда к нему приписывают нуль, ставят или продолжают дробную часть частного и снова делят на делитель. Каждый следующий шаг даёт новую цифру после запятой. Проверка умножением нужна потому, что при ней действие выполняется наоборот: частное умножают на делитель и сравнивают с исходным делимым.

Алгоритм деления десятичной дроби на натуральное число

Таблица показывает, какое действие выбрать на каждом этапе деления. Двигайтесь по строкам сверху вниз и проверяйте, не возникла ли описанная ситуация. Примеры записи помогают увидеть место запятой и нулей.

Разбор задач

Задача 1. Вычислить: 36,8 : 4.

Целая часть 36 не меньше 4, поэтому сначала делим её. После деления целой части нужно перейти к цифре десятых. Запятую в частном ставим именно в этот момент.

1. Делим 36 на 4 и получаем 9.
2. Ставим в частном запятую, потому что начинаем работать с дробной частью.
3. Сносим цифру 8, то есть 8 десятых, и делим 8 на 4: получаем 2 десятых.
4. Записываем результат: 36,8 : 4 = 9,2.

Ответ: 9,2.

Задача 2. Вычислить: 7,35 : 5.

Целая часть 7 делится на 5 не полностью, поэтому после первого шага появляется остаток 2. Затем к нему присоединяется цифра десятых 3, и получается 23 десятых. После перехода к дробной части запятая в частном уже должна стоять.

1. 7 : 5 = 1, остаток 2.
2. Ставим запятую в частном и сносим 3: получаем 23 десятых.
3. 23 : 5 = 4, остаток 3, поэтому первая цифра после запятой — 4.
4. Сносим цифру 5: получаем 35 сотых. 35 : 5 = 7.
5. Получаем 7,35 : 5 = 1,47.

Ответ: 1,47.

Задача 3. Вычислить: 0,84 : 12.

Целая часть 0 меньше 12, поэтому целая часть частного равна нулю. Деление начинается с дробной части, но сначала нужно увидеть, хватит ли одной цифры после запятой. Так как 8 меньше 12, берём сразу 84 сотых.

1. Записываем в частном 0 и ставим запятую.
2. 8 : 12 выполнить нельзя, поэтому первая цифра после запятой будет 0.
3. Берём 84 и делим на 12: получаем 7.
4. Значит, 0,84 : 12 = 0,07.
5. Проверяем: 0,07 · 12 = 0,84.

Ответ: 0,07. Проверка совпала с исходным делимым, значит, вычисление выполнено верно.

Типичные ошибки

Запятую ставят не после деления целой части. Так происходит, если считать цифры, а не следить за разрядами. Проверьте себя: до запятой должны стоять целые единицы, а после неё — доли.

Пропускают нуль, когда остаток меньше делителя. Тогда одна цифра частного исчезает, и результат становится неверным. Выпишите остаток после каждого шага: если он меньше делителя, при продолжении деления нужно рассмотреть следующий разряд.

Считают, что приписывание нулей меняет дробь. Ошибка возникает из-за того, что запись числа становится длиннее. Сравните 3,5 и 3,50: это равные числа, поэтому нуль можно использовать для продолжения вычислений.

Не проверяют результат умножением. Из-за этого незамеченной может остаться ошибка в одной цифре частного. Умножьте частное на делитель и убедитесь, что получили исходное делимое.

Связь с другими темами

До этой темы нужны знания о разрядах десятичной дроби, сравнении десятичных дробей и письменном делении натуральных чисел. Новый навык применяется в задачах на скорость, цену, массу, расход и равное распределение величин. Позже этот способ поможет делить десятичные дроби на десятичные дроби и находить значения выражений.

Что запомнить

• Десятичную дробь на натуральное число делят по правилам письменного деления.
• Запятую в частном ставят после деления целой части делимого.
• Если целая часть делимого меньше делителя, целая часть частного равна нулю.
• При необходимости к дробной части делимого можно приписывать нули.
• Остаток должен быть меньше делителя.
• Правильность результата проверяют умножением частного на делитель.