4.2. Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000

Определения и обозначения

Умножение десятичной дроби на 10, 100 или 1000 — это действие, при котором цифры числа переходят в разряды более высокого порядка. Например, при умножении на 10 цифра, стоявшая в разряде единиц, начинает обозначать десятки. Так можно быстро увеличить число в 10, 100 или 1000 раз, не выполняя умножение столбиком.

Деление десятичной дроби на 10, 100 или 1000 — действие, при котором цифры переходят в разряды более низкого порядка. При делении на 10, например, единицы становятся десятыми, а десятые — сотыми. Это помогает быстро уменьшать число в нужное количество раз и удобно при вычислениях с величинами.

Разрядная единица — число, соответствующее переходу между соседними разрядами; в этой теме такими единицами служат 10, 100 и 1000. Число 10 связано с переходом на один разряд, 100 — на два, а 1000 — на три. Это объясняет, почему число нулей у множителя или делителя показывает, сколько разрядов нужно пройти.

Как это устроено

При умножении на 10 каждая цифра начинает обозначать величину в десять раз большую. Например, 3 единицы превращаются в 3 десятка, а 4 десятых — в 4 единицы. Поэтому значение числа увеличивается в десять раз, а запятую можно передвинуть вправо на один разряд: 3,47 становится 34,7.

Число 100 — это 10 · 10, поэтому умножение на 100 увеличивает значение каждой цифры в сто раз и переводит её на два разряда выше. По той же причине при умножении на 1000, то есть на 10 · 10 · 10, цифры переходят на три разряда выше. Значит, запятая передвигается вправо на столько мест, сколько нулей в множителе.

При делении на 10 значение каждой цифры становится в десять раз меньше: цифра переходит на один разряд ниже. Поэтому число уменьшается в десять раз, а запятая перемещается влево на один разряд. Деление на 100 и 1000 повторяет это изменение два и три раза, так что запятую сдвигают влево на два и три разряда соответственно.

Иногда после сдвига запятой цифр для записи результата не хватает. Тогда добавляют нули, потому что ноль в пустом разряде сохраняет правильное место остальных цифр и не меняет значение числа. Например, 5,2 при делении на 100 превращается в 0,052: ноль перед запятой показывает, что целых единиц в результате нет.

Если запятую сдвигают вправо в целом числе, справа может не хватить цифр, поэтому к записи дописывают нули: 42 · 100 = 4200. Если запятую двигают влево, а цифр слева мало, перед первой цифрой ставят нули: 42 : 1000 = 0,042. В обоих случаях нули нужны, чтобы обозначить пустые разряды и показать правильное значение числа.

Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100 и 1000

Чтобы пользоваться таблицей, сначала определи действие: умножение или деление. Затем посчитай нули в числе 10, 100 или 1000 — это число разрядов для сдвига запятой. В примерах показано направление переноса: вправо для умножения и влево для деления.

Разбор задач

Вычислите 3,47 · 10. Здесь нужно увеличить число в десять раз, поэтому запятая переместится вправо на один разряд. Следи за тем, чтобы после переноса цифры сохранили свой порядок.

1. Определи действие: это умножение, значит, запятую сдвигаем вправо.
2. В множителе 10 один ноль, поэтому переносим запятую на один разряд: 3,47 → 34,7.
3. Проверь результат: 34,7 больше, чем 3,47, как и должно быть при умножении на 10.

Ответ: 34,7.

Вычислите 5,2 : 100. Деление уменьшает число, поэтому запятую надо передвинуть влево. У делителя 100 два нуля, значит, сдвиг составит два разряда, даже если слева от запятой записана только одна цифра.

1. Определи направление: при делении запятая движется влево.
2. Перенеси её на два разряда: 5,2 → 0,052; перед первой цифрой для недостающего разряда поставь ноль.
3. Проверь порядок числа: результат меньше 5,2 в сто раз, поэтому 0,052 подходит.

Ответ: 0,052.

Вычислите 0,086 · 1000 и 42 : 1000. В первом действии число увеличивается, а во втором уменьшается. Для каждого примера отдельно посчитай нули и выбери направление сдвига, чтобы не перепутать ответы.

1. В 1000 три нуля, поэтому при умножении переносим запятую в 0,086 на три разряда вправо: 0,086 → 86.
2. При делении 42 на 1000 сдвигаем запятую влево на три разряда. В записи 42 запятая стоит после последней цифры: 42 → 0,042.
3. Проверь оба результата: 86 больше 0,086, а 0,042 меньше 42.

Ответ: 0,086 · 1000 = 86; 42 : 1000 = 0,042.

Типичные ошибки

Можно сдвинуть запятую не в ту сторону: например, при делении передвинуть её вправо. Так бывает, если помнить только о переносе запятой, но забыть, что умножение увеличивает число, а деление уменьшает. Проверяй размер результата: после умножения он должен стать больше исходного, после деления — меньше.

Другая ошибка — сдвинуть запятую на один разряд при умножении или делении на 100 либо 1000. Часто путают само действие с количеством шагов, хотя число шагов определяется количеством нулей. Пересчитай нули: у 100 их два, у 1000 — три, и сравни результат с исходным числом.

Если для сдвига не хватает цифр, иногда забывают дописать нули и получают неверное значение. Например, при делении 5,2 на 100 важно записать 0,052, а не 0,52: иначе число уменьшится только в десять раз. Проверяй, что запятая прошла все нужные разряды, и ставь нули в пустые места.

Запятая может как будто выйти за пределы записанных цифр, и тогда кажется, что сдвиг невозможен. При умножении целого числа недостающие разряды справа заполняют нулями, а при делении нули ставят перед первой цифрой. Представь запятую после последней цифры целого числа и затем проверь, что каждая цифра оказалась в нужном разряде.

Связь с другими темами

Чтобы выполнять эти действия, нужно знать разряды десятичной записи и понимать, какое значение имеет цифра на каждом месте. Например, цифра 4 в числе 4,2 обозначает единицы, а в числе 0,42 — десятые. Это знание помогает объяснить, почему перенос запятой меняет значение числа.

Также важно уметь записывать десятичные дроби и сравнивать их, обращая внимание на положение запятой. Тогда можно проверить, увеличился или уменьшился результат в нужное число раз. При переводе единиц измерения и вычислениях с величинами умножение или деление на 10, 100 и 1000 помогает быстро менять масштаб числа.

Что запомнить

• При умножении на 10, 100 и 1000 запятая сдвигается вправо на 1, 2 и 3 разряда.
• При делении на 10, 100 и 1000 запятая сдвигается влево на 1, 2 и 3 разряда.
• Направление сдвига зависит от действия: умножение — вправо, деление — влево.
• Если для сдвига не хватает цифр, в записи используют нули.
• Умножение на 10, 100 и 1000 увеличивает число в 10, 100 и 1000 раз.
• Деление на 10, 100 и 1000 уменьшает число в 10, 100 и 1000 раз.