4.1. Сложение и вычитание десятичных дробей

Определения и обозначения

Десятичная дробь — дробь, знаменатель которой равен 10, 100, 1000 и так далее; её записывают с помощью запятой. Например, 0,7 означает семь десятых, а 0,25 — двадцать пять сотых. Такая запись помогает видеть, какую часть единицы обозначает число.

Разряд десятичной дроби — позиция цифры справа от запятой, соответствующая десятым, сотым, тысячным и другим долям единицы. В числе 4,36 цифра 3 стоит в разряде десятых, а 6 — в разряде сотых. Знание разрядов нужно, чтобы правильно сопоставлять цифры при вычислениях.

Сложение десятичных дробей — действие, при котором складывают числа, записанные в десятичной форме, сохраняя соответствие одноимённых разрядов. Например, десятые складывают с десятыми, а сотые — с сотыми. Это правило позволяет не смешивать целые единицы с их частями.

Вычитание десятичных дробей — действие, при котором из одного числа вычитают другое, сохраняя соответствие одноимённых разрядов. Вычитаемое и уменьшаемое записывают так, чтобы совпали целые и дробные разряды. Тогда можно выполнять вычитание по столбикам, как с натуральными числами.

Как это устроено

При записи столбиком запятые ставят одна под другой, потому что положение цифры определяет её значение. Если записать числа по последним цифрам, единицы могут оказаться под десятыми, и вычисление станет неверным. Совпавшие запятые служат ориентиром: над каждой цифрой одного разряда будет цифра того же разряда. Поэтому сначала выравнивают записи, а уже потом считают.

Для сложения запиши числа столбиком по запятым. Если после запятой в одном числе цифр меньше, допиши справа нули, чтобы удобно было сопоставить дробные разряды. Затем складывай цифры по столбикам, начиная с наименьшего разряда, и при необходимости переноси единицу в следующий разряд. Запятую в ответе поставь точно под запятыми слагаемых, чтобы целая и дробная части остались на своих местах.

Вычитание выполняют похожим способом: выровняй числа по запятым и при необходимости допиши нули. Вычитай по разрядам, начиная справа; если цифры уменьшаемого не хватает, займи единицу из соседнего разряда. Запятая при этом не перемещается и в ответе ставится под запятыми уменьшаемого и вычитаемого. Так дробные части не перепутаются с целой частью числа.

Нули можно дописывать справа в дробной части, потому что они не меняют её значения: 2,5 и 2,50 — одно и то же число. Десятая часть равна десяти сотым, поэтому запись 5 десятых совпадает с записью 50 сотых. Нули помогают выровнять числа, но не добавляют к ним новую величину. Важно дописывать их именно в конце дробной части.

Результат вычитания удобно проверить сложением: прибавь к разности вычитаемое и сравни сумму с уменьшаемым. Если равенство не получилось, проверь запись чисел и вычисления по разрядам. Сложение можно проверить оценкой: округли числа и прикинь, каким должен быть результат. Например, сумма чисел около 2 и 1 должна быть близка к 3, а не к 30.

Алгоритмы сложения и вычитания десятичных дробей

Сначала найди в таблице нужное действие и проверь, как выравнивать числа. Затем выполни действия с разрядами и запиши запятую по указанному правилу. После вычисления воспользуйся способом проверки из последнего столбца.

Разбор задач

Вычислите 2,4 + 1,3.

Здесь обе дробные части состоят из десятых, поэтому их разряды уже совпадают. Запишем числа столбиком: запятые окажутся одна под другой. Сложим единицы с единицами и десятые с десятыми.

1. Записываем 2,4 и 1,3 друг под другом по запятым. В разряде единиц получаем 2 + 1 = 3.
2. В разряде десятых получаем 4 + 3 = 7 десятых. Переносить единицу в соседний разряд не нужно.
3. Ставим запятую между целой частью и десятыми, прямо под запятыми исходных чисел. Получаем 3,7.

Ответ: 3,7. Проверим смысл результата: 2,4 больше двух, а 1,3 больше одного, поэтому сумма должна быть больше трёх. Полученное число этому условию соответствует.

Вычислите 5,72 − 3,8.

У уменьшаемого две цифры после запятой, а у вычитаемого — одна. Чтобы разряды совпали, запишем 3,8 как 3,80: значение числа не изменилось. Теперь можно вычитать сотые, десятые и целые, не смешивая разряды.

1. Записываем числа столбиком: 5,72 − 3,80. Запятые и цифры одноимённых разрядов стоят друг под другом.
2. В разряде сотых вычитаем 0 из 2 и получаем 2. В разряде десятых вычитаем 8 из 7, поэтому занимаем одну единицу у целых: 17 − 8 = 9 десятых.
3. После займа в целой части осталось 4 единицы. Вычитаем 3 и получаем 1, затем ставим запятую под запятыми. Результат равен 1,92.

Ответ: 1,92. Для проверки прибавим вычитаемое к разности: 1,92 + 3,80 = 5,72. Получили уменьшаемое, значит, вычисление выполнено верно.

Вычислите 12 − 4,675 и проверьте ответ.

Целое число можно представить как число с нулевой дробной частью. Запишем 12 в виде 12,000, чтобы рядом с тремя дробными разрядами вычитаемого оказались сотые и тысячные уменьшаемого. Затем выполним вычитание по столбикам.

1. Записываем 12,000 − 4,675, выравнивая запятые. В разряде тысячных нужно вычесть 5 из 0, поэтому занимаем единицы через соседние разряды.
2. После последовательных займов получаем: в тысячных 10 − 5 = 5, в сотых 9 − 7 = 2, в десятых 9 − 6 = 3. В целой части остаётся 11 единиц, а после вычитания 4 получаем 7.
3. Ставим запятую под запятыми и записываем результат 7,325. Чтобы проверить ответ, прибавим к нему вычитаемое.

Ответ: 7,325. Проверка: 7,325 + 4,675 = 12,000, то есть 12. Сумма совпала с уменьшаемым, поэтому разность найдена правильно.

Типичные ошибки

Если записывать числа столбиком по последним цифрам, а не по запятым, разряды могут разойтись: например, единицы окажутся под десятыми. Так часто делают, когда ориентируются только на правый край записи. Перед вычислением проверь, что запятые стоят одна под другой, а цифры в каждом столбике обозначают одинаковые разряды. После этого сложение или вычитание можно выполнять по обычным правилам.

Некоторые считают запятую отдельным разрядом или ставят её в ответе по числу цифр в записи. Запятая не является цифрой: она отделяет целую часть от дробной. Если переместить её, число изменится в десять или сто раз. Проверь, что в ответе запятая находится под запятыми исходных чисел.

Если не дописать нули, дробные части разной длины бывает трудно сравнить, а цифры легко сопоставить неправильно. Нули не обязательны для самого значения числа, но делают запись удобной для вычисления: 3,8 можно представить как 3,80. Допиши нужное количество нулей справа и проверь, что запятая осталась на прежнем месте. После вычисления оцени, похож ли ответ на ожидаемый.

Нули без изменения значения разрешено дописывать только справа в дробной части. Например, 2,5 = 2,50, но 2,05 — уже другое число, потому что ноль поставлен между запятой и цифрой 5. Ошибку допускают, когда пытаются выровнять числа, не следя за разрядами. Сверь записи по позициям цифр и убедись, что изменена только длина дробной части.

Связь с другими темами

Перед вычислениями с десятичными дробями нужно уметь определять разряды чисел и складывать или вычитать натуральные числа. Здесь используются те же правила действий по столбикам, но к ним добавляется правильное расположение запятых. Десятичные дроби помогают считать денежные суммы и выполнять вычисления с величинами, полученными при измерениях. Эти навыки пригодятся при умножении и делении десятичных дробей, решении уравнений и текстовых задач.

Что запомнить

• При записи столбиком располагай запятые одну под другой.
• Складывай и вычитай только одноимённые разряды.
• Если дробные части имеют разное число цифр, можно дописать нули справа.
• Нули, дописанные справа в дробной части, не меняют значения числа.
• В ответе поставь запятую под запятыми исходных чисел.
• Вычитание можно проверить сложением.