3.4. Сравнение десятичных дробей

Определения и обозначения

Десятичная дробь — число, записанное с целой и дробной частями, разделёнными запятой. Например, в числе 5,27 цифра 5 относится к целой части, а 27 — к дробной. Такое представление удобно для записи частей единицы, результатов измерений и денежных значений.

Сравнение десятичных дробей — определение, какое из двух чисел больше, меньше или равно другому. Результат записывают знаками >, < или =. Сравнение помогает расположить числа по порядку и выбрать подходящее значение в задаче.

Разряды десятичной дроби — позиции цифр после запятой: десятые, сотые, тысячные и далее. В числе 4,386 цифра 3 показывает десятые, 8 — сотые, а 6 — тысячные. Название разряда подсказывает, какую долю единицы обозначает цифра.

Равные десятичные дроби — дроби, имеющие одинаковое значение, даже если записаны с разным количеством нулей после последней значащей цифры. Например, 2,5 и 2,50 равны. Это свойство позволяет дописывать нули и удобнее выполнять сравнение.

Как это устроено

Сначала сравнивают целые части, потому что целая единица больше любой дробной части единицы. Если одна дробь имеет целую часть 5, а другая — 4, то первая больше независимо от цифр после запятой. Поэтому 5,2 > 4,99: число целых единиц сразу определяет результат.

Если целые части одинаковы, сравнение продолжают по разрядам после запятой. Сначала сопоставляют цифры десятых, затем, если они равны, цифры сотых, после этого — тысячных и следующих разрядов. Первый разряд, в котором цифры различаются, и определяет, какая дробь больше.

Нули справа можно приписывать, потому что десять десятых равны одной целой, а десять сотых — одной десятой. Поэтому 0,7 и 0,70 обозначают одну и ту же величину. Приписывание нулей не меняет число, но помогает поставить цифры в одинаковые разряды.

Сравнение связано с расположением чисел на координатном луче. Если луч направлен слева направо и единичные отрезки откладываются одинаково, большее число окажется правее меньшего. Так, точка 1,8 расположена правее точки 1,35, значит, 1,8 > 1,35.

После анализа нужно правильно выбрать знак и направить его в сторону меньшего числа. Широкая часть знака > или < обращена к большему числу, а острый конец — к меньшему. Если значения совпали во всех разрядах, ставят знак = и записывают равенство.

Правила сравнения десятичных дробей

Пользуйтесь таблицей как алгоритмом: сначала найдите целые части, а затем переходите к цифрам после запятой. Если знаков после запятой разное количество, мысленно или письменно уравняйте их нулями. Сравнивать нужно значения разрядов, а не длину записи.

Разбор задач

Сравнить 7,3 и 5,98

Нужно определить, какое из двух чисел больше. В данном случае не требуется сравнивать цифры после запятой, потому что целые части уже различаются. Действуем по главному правилу сравнения.

1. Выделим целые части: у первой дроби это 7, у второй — 5.
2. Сравним целые числа: 7 больше 5.
3. Так как целая часть первой дроби больше, вся первая дробь больше второй.

Ответ: 7,3 > 5,98.

Сравнить 4,08 и 4,8

Целые части обеих дробей равны 4, поэтому сразу закончить сравнение нельзя. Вторая запись содержит один знак после запятой, а первая — два. Уравняем количество разрядов и посмотрим на цифры слева направо.

1. Припишем ноль к записи 4,8: получим 4,80.
2. Сравним десятые: в числе 4,08 стоит 0, а в числе 4,80 — 8.
3. Так как 0 меньше 8, первая дробь меньше второй.

Ответ: 4,08 < 4,8.

Расположить по возрастанию числа 2,305; 2,35; 2,053; 2,3

У всех чисел одинаковая целая часть 2, поэтому сравниваем дробные части. Чтобы не перепутать разряды, допишем нули до трёх знаков после запятой. Затем сравним получившиеся записи по цифрам слева направо.

1. Преобразуем записи: 2,305; 2,350; 2,053; 2,300.
2. Наименьшая цифра десятых у числа 2,053: это 0, поэтому оно первое.
3. У 2,305, 2,350 и 2,300 цифры десятых одинаковы. В сотых получаем соответственно 0, 5 и 0, поэтому 2,350 больше двух остальных.
4. Для 2,305 и 2,300 сотые совпадают, а тысячные сравниваются так: 5 больше 0. Значит, 2,300 меньше 2,305.

Ответ: 2,053 < 2,3 < 2,305 < 2,35.

Типичные ошибки

Сравнивают количество цифр после запятой. Из-за этого считают 3,8 меньше 3,25, хотя 3,8 = 3,80 и 80 сотых больше 25 сотых. Проверяйте себя: уравняйте количество разрядов нулём.

Сравнивают дробные части как обычные целые числа. Поэтому иногда делают неверный вывод, что 2,09 больше 2,8, ведь 9 якобы больше 8. Нужно сравнивать цифры по разрядам: 2,09 = 2,09, а 2,8 = 2,80, значит, 2,09 меньше.

Считают 5,4 и 5,40 разными числами. Такая ошибка появляется, если воспринимать ноль как новую часть числа, а не как пустой разряд. Припишите или уберите ноль справа и убедитесь, что значение не изменилось: 5,4 = 5,40.

Неверно выбирают знак сравнения. Знак иногда переворачивают при записи ответа, даже если рассуждение выполнено правильно. Проверьте направление: раскрытая сторона > или < обращена к большему числу, а при одинаковых значениях ставится =.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно знать состав десятичной дроби, названия разрядов и значение цифры в каждом разряде. Также пригодятся навыки сравнения натуральных и обыкновенных дробей. Эти знания объясняют, почему сначала рассматривают целые части, а затем доли единицы.

Тема связана с координатным лучом: чем правее расположена точка, тем больше соответствующее число. Сравнение десятичных дробей понадобится при округлении и упорядочивании чисел. Оно также используется в задачах о денежных значениях, длине, массе, времени и других измерениях.

Что запомнить

• Сначала сравнивают целые части десятичных дробей.
• Если целые части равны, сравнивают цифры после запятой слева направо.
• Нули справа после последней значащей цифры не изменяют значение дроби.
• Количество знаков после запятой само по себе не определяет величину дроби.
• На координатном луче больше расположенная правее дробь.
• При равенстве всех соответствующих разрядов дроби равны.
• Результат сравнения записывают с помощью знаков >, < или =.