3.3. Перевод обыкновенной дроби в десятичную

Определения и обозначения

Перевод обыкновенной дроби в десятичную — это представление дроби в виде десятичной записи с помощью деления числителя на знаменатель. Например, дробь 3/4 переводят так: 3 : 4 = 0,75. Это правило позволяет выполнять вычисления и сравнивать дроби в удобной форме.

Конечная десятичная дробь — дробь, запись которой заканчивается после конечного числа знаков. В ней после запятой не нужно продолжать деление: например, 0,375 уже является полным результатом. Такая запись появляется, когда остаток при делении становится равен нулю.

Бесконечная периодическая дробь — десятичная дробь, в которой после запятой бесконечно повторяется одна цифра или группа цифр. Например, 1/3 = 0,(3), то есть цифра 3 повторяется без конца. Скобки показывают, что запись продолжается бесконечно.

Период десятичной дроби — цифра или группа цифр, которая повторяется в бесконечной записи. В числе 0,(27) периодом является группа 27, а в числе 0,(6) — цифра 6. Знание периода помогает кратко записать результат, который нельзя выписать полностью.

Как это устроено

Чтобы перевести дробь в десятичную, делят числитель на знаменатель, потому что черта дроби означает именно деление. Если деление выполняется без остатка, результат сразу является десятичной записью дроби. Например, 3/4 означает 3 : 4, поэтому значение дроби равно 0,75.

Когда числитель меньше знаменателя, целая часть частного равна нулю. Поэтому сначала пишут 0 и ставят запятую, а затем переходят к десятичным долям. Остаток умножают на 10, что в письменном делении соответствует приписыванию к нему нуля.

Деление заканчивается, когда очередной остаток становится равен нулю. Это означает, что числитель уже разделён на знаменатель полностью и новых цифр после запятой не появится. Например, при вычислении 3/8 получаем 30 : 8 = 3 с остатком 6, затем 60 : 8 = 7 с остатком 4, а после следующего шага остаток становится нулевым: 3/8 = 0,375.

Иногда остаток не исчезает, но через несколько шагов повторяется. После одинакового остатка все последующие действия будут такими же, поэтому повторится и последовательность цифр частного. Так возникает бесконечная периодическая дробь, например 1/3 = 0,(3).

Вид записи можно определить ещё до деления. Сначала дробь сокращают, затем раскладывают знаменатель на простые множители; если останутся только 2 и 5, знаменатель можно превратить в 10, 100, 1000 и так далее. Если есть другой множитель, например 3 или 7, деление не закончится, поэтому получится периодическая дробь или её округлённое значение.

Виды десятичной записи обыкновенной дроби

Сначала проверьте, сокращена ли дробь, и только потом анализируйте знаменатель. Во время деления следите за остатками: нулевой остаток означает конец записи, а повторившийся — начало периода. Если точная периодическая запись не нужна, результат можно округлить до указанного разряда.

Разбор задач

Задача 1. Перевести дробь 3/4 в десятичную

Нужно разделить числитель на знаменатель. Числитель 3 меньше знаменателя 4, поэтому целая часть результата будет равна нулю. Начинаем письменное деление с нуля и запятой.

1. Записываем 0, и приписываем к 3 нуль: получаем 30 десятых.
2. 30 : 4 = 7, остаток 2, поэтому первая цифра после запятой — 7.
3. Приписываем нуль к остатку 2 и получаем 20; 20 : 4 = 5, остаток 0.

Остаток стал равен нулю, поэтому деление закончено. Ответ: 3/4 = 0,75.

Задача 2. Перевести дробь 7/40 в десятичную

Делим 7 на 40 и продолжаем деление после запятой. Поскольку 7 меньше 40, сначала записываем 0, а нули приписываем именно к остаткам. Это позволяет получить цифры десятичной части, не изменяя исходную дробь.

1. Получаем 70 : 40 = 1, остаток 30, поэтому первая цифра — 1.
2. К остатку 30 приписываем нуль: 300 : 40 = 7, остаток 20.
3. К остатку 20 приписываем нуль: 200 : 40 = 5, остаток 0.

Так как остаток исчез, запись конечная. Ответ: 7/40 = 0,175.

Задача 3. Перевести 5/6 и округлить до сотых

Здесь знаменатель содержит множитель 3, поэтому конечного результата ожидать не следует. Выполним деление и найдём повторяющийся остаток, а затем оставим две цифры после запятой. Для округления понадобится третья цифра.

1. 5 меньше 6, поэтому начинаем с 0,; 50 : 6 = 8, остаток 2.
2. 20 : 6 = 3, остаток 2, значит остаток повторился и период равен 3.
3. Получаем 5/6 = 0,8(3), или 0,8333…; до сотых сохраняем 0,83.
4. Следующая цифра равна 3, она меньше 5, поэтому 0,83 не изменяем.

Точная запись — 5/6 = 0,8(3). Ответ с округлением до сотых: 5/6 ≈ 0,83.

Типичные ошибки

Пропускают нуль перед запятой. Так происходит, когда начинают запись сразу с цифр после запятой. Проверьте целую часть: если числитель меньше знаменателя, результат меньше единицы и должен начинаться с 0,.

Приписывают нуль к частному, а не к остатку. Нуль нужен для продолжения деления, поэтому его приписывают к текущему остатку. После каждого шага проверяйте, какое число делите на знаменатель и какой остаток получили.

Считают любую дробь с большим знаменателем конечной. Размер знаменателя сам по себе ничего не решает: важны его простые множители после сокращения дроби. Разложите знаменатель и убедитесь, что в нём нет множителей, отличных от 2 и 5.

Неверно округляют периодическую дробь. Иногда смотрят только на последнюю сохранённую цифру и забывают о следующей. Запишите нужное число знаков, посмотрите на следующую цифру и только затем решайте, увеличивать ли последнюю цифру.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь делить натуральные числа, находить остаток и сокращать дроби. Также необходимо понимать запись десятичных дробей и разряды после запятой. Эти знания составляют основу алгоритма перевода.

Десятичная запись помогает сравнивать дроби и выполнять вычисления с процентами. Она нужна при работе с отношениями и приближёнными значениями, когда точный результат заменяют округлённым. Поэтому умение переводить дроби встречается в разных практических задачах.

Позже эта тема связывается с рациональными числами и действиями с десятичными дробями. Периодическая запись показывает, как выглядят числа, которые нельзя точно представить конечной десятичной дробью. Округление позволяет использовать их в вычислениях с заданной точностью.

Что запомнить

• Обыкновенную дробь переводят в десятичную делением числителя на знаменатель.
• Если числитель меньше знаменателя, в частном записывают нуль перед запятой.
• Нули можно приписывать к остатку, не изменяя его значения.
• Если остаток стал равен нулю, десятичная дробь конечная.
• Повторение остатков приводит к периодической десятичной дроби.
• Конечная десятичная запись возможна, если после сокращения в знаменателе остались только множители 2 и 5.
• Приближённую десятичную запись получают округлением.