3.2. Десятичные дроби и метрическая система мер

Определения и обозначения

Десятичная дробь — это дробь, знаменатель которой равен 10, 100, 1000 и так далее. Вместо записи 7/10 обычно пишут 0,7: запятая отделяет целую часть от дробной, то есть от долей единицы. Такая запись удобна для измерений и вычислений, потому что её можно сравнивать и складывать по разрядам.

Разряды десятичной дроби — это места цифр после запятой, показывающие, на какие доли разделена единица. Первая цифра обозначает десятые, вторая — сотые, третья — тысячные: например, в числе 0,348 это 3 десятых, 4 сотых и 8 тысячных. Разряды помогают правильно читать дробь и понимать значение каждой цифры.

Метрическая система мер — система единиц измерения, в которой единицы одной величины связаны множителями 10, 100 или 1000. Например, метр, сантиметр и миллиметр измеряют длину, а килограмм и грамм — массу. Зная связь единиц, можно заменить одну единицу другой и записать измерение удобнее.

Именованная величина — это число вместе с единицей измерения, например 4 м или 2,5 кг. Десятичная дробь позволяет выразить часть такой единицы: 25 см составляют 0,25 м, поскольку метр делится на 100 сантиметров. Это нужно, когда величину требуется записать целиком в метрах, килограммах или другой выбранной единице.

Как это устроено

Знаменатель 10, 100 или 1000 показывает, на сколько равных частей разделили единицу. Если разделить единицу на 10, получатся десятые доли; если на 100 — сотые, а если на 1000 — тысячные. Поэтому 6/10 записывают как 0,6, а 6/100 — как 0,06: цифра 6 занимает разряд, соответствующий размеру доли. Нули сохраняют место разряда, так что 0,06 — это шесть сотых, а не шесть десятых.

Единицы в метрической системе расположены рядами: например, километр, метр, дециметр, сантиметр, миллиметр. При переходе к соседней меньшей единице измеряемый предмет содержит больше таких единиц, поэтому числовое значение увеличивается в 10 раз. При переходе к соседней большей единице число, наоборот, уменьшается в 10 раз. Для массы, вместимости и других величин также существуют связанные единицы, но их расположение и шаги нужно учитывать отдельно.

Направление сдвига запятой зависит от того, увеличивается или уменьшается числовое значение. При переходе к меньшей единице нужно получить большее число, поэтому запятую сдвигают вправо; при переходе к большей единице — влево. Например, в одном метре 100 сантиметров, значит, метры переводят в сантиметры умножением на 100, то есть сдвигом вправо на две позиции. Если позиций не хватает, справа дописывают нули, не меняя значения числа.

Составная величина содержит несколько единиц, например метры и сантиметры. Чтобы выразить её одной величиной, выбери итоговую единицу и переведи в неё каждую часть: 3 м 8 см можно записать как 308 см или как 3,08 м. Обратный перевод выполняют, выделяя целое число выбранных крупных единиц, а остаток переводя в меньшие. Например, 4,25 м — это 4 м и 0,25 м, то есть 4 м 25 см.

Для площади и объёма коэффициент перевода получается из связи единиц длины, возведённой в степень. Квадратный метр состоит из квадратов, поэтому при переходе от метров к сантиметрам множитель 100 применяется дважды: 100 × 100 = 10 000. Кубический метр переводится в кубические сантиметры с множителем 100 × 100 × 100 = 1 000 000. Поэтому соседние квадратные единицы отличаются в 100 раз, а кубические — в 1000 раз, а не в 10.

Метрические единицы измерения и их связь с основной единицей

В таблице основная единица служит точкой отсчёта: для длины это метр, для массы — килограмм. Перед переводом проверь, какие именно единицы сравниваются: например, километр и метр не соседние в ряду, поэтому между ними множитель 1000. Для площади и объёма обращай внимание на квадратные и кубические обозначения: их коэффициенты отличаются от коэффициентов длины.

Разбор задач

Задача 1. Выразить 3,7 м в сантиметрах и миллиметрах. Сантиметр и миллиметр меньше метра, поэтому числовое значение при переводе должно увеличиться. Сначала определим, во сколько раз отличаются выбранные единицы от метра, а затем умножим на соответствующий коэффициент.

1. В одном метре 100 сантиметров, поэтому 3,7 м × 100 = 370 см.
2. В одном метре 1000 миллиметров, поэтому 3,7 м × 1000 = 3700 мм.
3. Проверим результат: 370 см и 3700 мм — большее число, чем 3,7, как и должно быть при переходе к меньшим единицам.

Ответ: 3,7 м = 370 см = 3700 мм.

Задача 2. Записать 2 кг 45 г одной величиной в килограммах и одной величиной в граммах. Нужно выбрать единицу ответа и перевести в неё обе части. Поскольку в килограмме 1000 граммов, 45 г составляют 45/1000 кг, то есть 0,045 кг. Запись 0,045 сохраняет разряд тысячных: 45 граммов — это не 0,45 кг и не 0,45 г.

1. Для ответа в килограммах переводим 45 г: 45 ÷ 1000 = 0,045 кг.
2. Прибавляем к двум килограммам: 2 кг + 0,045 кг = 2,045 кг.
3. Для ответа в граммах переводим 2 кг: 2 × 1000 = 2000 г, затем складываем: 2000 г + 45 г = 2045 г.

Ответ: 2 кг 45 г = 2,045 кг = 2045 г.

Задача 3. Сравнить 0,35 м² и 3400 см². Нельзя сравнивать числа 0,35 и 3400 отдельно: они выражают площади в разных единицах. Переведём квадратные метры в квадратные сантиметры. Так как 1 м = 100 см, при переходе к квадратным единицам коэффициент равен 100² = 10 000.

1. Умножаем площадь на 10 000: 0,35 м² = 0,35 × 10 000 см².
2. Сдвигаем запятую вправо на четыре позиции: 0,35 м² = 3500 см².
3. Теперь сравниваем величины в одинаковых единицах: 3500 см² больше, чем 3400 см².

Ответ: 0,35 м² > 3400 см².

Типичные ошибки

При переводе метров в сантиметры иногда сдвигают запятую влево, потому что запоминают правило без понимания направления. Но сантиметр меньше метра, и число сантиметров должно быть больше числа метров. Перед вычислением спроси себя, какой единицей станет измеряться величина: при переходе к более мелкой единице результат должен вырасти.

Другая ошибка — убрать или добавить нули, не проверив разряды: так 0,05 может превратиться в 0,5 или 5. Нули после запятой могут обозначать, в каком разряде стоит цифра, поэтому их нельзя менять произвольно. Проверь запись умножением или делением на нужное число, а также сравни результат с исходным: 0,05 меньше 0,5 в десять раз.

Составную величину иногда переводят только частично, например складывают 2 кг и 45 г как числа 2 и 45. Эти числа относятся к разным единицам, поэтому их нельзя складывать напрямую. Сначала вырази обе части в килограммах или обе в граммах, а в ответе проверь, что осталась одна единица измерения.

При переводе площади или объёма ошибочно используют множитель 10, как для длины. Причина в том, что забывают: квадратные единицы связаны с квадратом длины, а кубические — с её кубом. Проверь степень единицы: для площади коэффициент соседних единиц равен 100, для объёма — 1000; также можно возвести коэффициент длины в квадрат или куб.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны обыкновенные дроби и понимание разрядов десятичной дроби. Ещё пригодятся умножение и деление на 10, 100 и 1000: именно они помогают переводить величины и правильно двигать запятую. Если забыть разряды, легко неверно записать долю единицы или потерять ноль.

Перевод единиц нужен в задачах на скорость, длину, массу, площадь, объём и стоимость измеряемых величин. В дальнейшем десятичные записи пригодятся при округлении и сравнении чисел, а также при действиях с величинами. Одинаковые единицы особенно важны перед сложением, вычитанием и сравнением результатов измерений.

Что запомнить

• Десятичная дробь записывает доли единицы через запятую.
• Первая цифра после запятой обозначает десятые, вторая — сотые, третья — тысячные.
• При переходе к меньшей единице число увеличивается, а при переходе к большей — уменьшается.
• При переводе длины между соседними единицами используют множитель 10.
• При переводе площади между соседними единицами используют множитель 100.
• При переводе объёма между соседними единицами используют множитель 1000.
• В окончательном ответе все слагаемые или сравниваемые величины должны быть выражены в одной единице.