"Математика (в 2-х частях)", Козлова С.А., Рубин А.Г.
Десятичные дроби помогают записывать части единицы так же удобно, как целые числа: цифры после запятой показывают десятые, сотые и более мелкие доли. Такая запись особенно полезна при измерениях. В метрической системе соседние единицы связаны числами 10, 100 или 1000, поэтому переходить от метров к сантиметрам или от килограммов к граммам можно с помощью умножения и деления. Главное — следить за разрядами и сначала выражать величины в одинаковых единицах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Десятичная дробь — это дробь, знаменатель которой равен 10, 100, 1000 и так далее. Например, 7/10 записывают как 0,7, а 23/100 — как 0,23. Запятая отделяет целую часть от дробной и позволяет записывать доли единицы без обычной дробной черты. Такая запись удобна для вычислений и результатов измерений.
Разряды десятичной дроби — это места цифр, обозначающие десятые, сотые, тысячные и более мелкие доли единицы. Первый знак после запятой показывает десятые, второй — сотые, третий — тысячные. Например, в числе 4,286 цифра 2 означает две десятых, 8 — восемь сотых, а 6 — шесть тысячных. Знание разрядов помогает правильно читать, сравнивать и записывать дроби.
Метрическая система мер — система единиц измерения, в которой единицы одной величины связаны соотношениями, основанными на 10, 100 и 1000. Например, в одном метре 100 сантиметров, а в одном километре 1000 метров. Благодаря таким связям перевод величин можно выполнять умножением или делением. Система нужна, чтобы согласованно измерять длину, массу, площадь и объём.
Единица измерения — величина, которую принимают за образец и с которой сравнивают измеряемый объект. Длину можно измерять в метрах, массу — в килограммах, площадь — в квадратных метрах, объём — в кубических метрах. Результат измерения состоит из числа и названия единицы, например 2,5 м. Единицу указывают, чтобы было понятно, какую именно величину выражает число.
Обыкновенную дробь со знаменателем 10, 100 или 1000 можно переписать десятичной дробью, потому что её знаменатель показывает число равных долей единицы. Число долей записывают после запятой: 7/10 = 0,7, 34/100 = 0,34. Если долей меньше, чем мест в знаменателе, слева дописывают ноль: 5/100 = 0,05. Разложение по разрядам показывает, из каких долей состоит число: 2,35 = 2 + 3/10 + 5/100.
Каждая следующая доля в десятичной записи в десять раз меньше предыдущей: одна десятая равна десяти сотым, а одна сотая — десяти тысячным. Поэтому место цифры после запятой меняет её значение. Ноль сохраняет это место, даже если соответствующей доли нет: в числе 3,07 нет десятых, зато есть семь сотых. Если убрать этот ноль и написать 3,7, получится уже другое число.
Сравнение начинают с целых частей, потому что любая дробная часть меньше единицы и не может изменить порядок разных целых частей. Если целые части одинаковы, сравнивают цифры после запятой слева направо, как разряды натуральных чисел. Например, 2,7 и 2,65 удобно записать как 2,70 и 2,65: целые и дробные разряды теперь легко сопоставить. Ноль справа не добавляет новых долей, поэтому приписывать его можно без изменения значения.
При переводе единиц сначала определяют, какая единица крупнее. Если переходят к более мелкой единице, числовое значение увеличивается: метры переводят в сантиметры умножением на 100, то есть запятую передвигают на два знака вправо. При переходе к более крупной единице выполняют деление и передвигают запятую влево. Если нужных цифр не хватает, места заполняют нулями, например 5 см = 0,05 м.
Результат измерения записывают числом и подходящей единицей, а перед вычислениями проверяют, совпадают ли единицы у всех величин. Десятичная запись позволяет выразить часть основной единицы: 75 см — это 0,75 м. После перевода можно складывать и вычитать числа по разрядам, совмещая запятые. Такой порядок помогает не смешивать, например, метры с сантиметрами в одном вычислении.
| Измеряемая величина | Основная единица | Более крупные единицы | Более мелкие единицы | Связь между соседними единицами |
|---|---|---|---|---|
| Длина | метр (м) | декаметр (дам), гектометр (гм), километр (км) | дециметр (дм), сантиметр (см), миллиметр (мм) | × 10 или ÷ 10 |
| Масса | грамм (г) | килограмм (кг), центнер (ц), тонна (т) | дециграмм (дг), сантиграмм (сг), миллиграмм (мг) | зависит от единиц: × 10, × 100 или × 1000 |
| Площадь | квадратный метр (м²) | ар (а), гектар (га), квадратный километр (км²) | квадратный дециметр (дм²), квадратный сантиметр (см²), квадратный миллиметр (мм²) | для соседних единиц длины в квадрате: × 100 или ÷ 100 |
| Объём | кубический метр (м³) | кубический километр (км³) | кубический дециметр (дм³), кубический сантиметр (см³), кубический миллиметр (мм³) | для соседних единиц длины в кубе: × 1000 или ÷ 1000 |
В таблице сначала найди нужную величину и единицы, между которыми выполняется переход. Для длины, массы и других величин множитель зависит от конкретной пары единиц: например, 1 кг = 1000 г, а 1 ц = 100 кг. У квадратных и кубических единиц учитывают соответственно два или три измерения, поэтому переход между ними может требовать множителя 100 или 1000.
Задача 1. Записать в виде десятичной дроби сумму 3 единиц, 4 десятых и 7 сотых. Нужно определить, какая цифра относится к каждому разряду, а затем поставить её на своё место. Целые единицы записывают до запятой, десятые — сразу после неё, сотые — следующими. Отсутствующих разрядов в этом примере нет.
Ответ: 3,47. Проверка разложением показывает, что каждая цифра обозначает именно заданное количество долей.
Задача 2. Выразить 3,45 м в сантиметрах и 275 см в метрах. В первом случае переходим от метров к более мелким сантиметрам, поэтому число сантиметров будет больше. Во втором случае переходим от сантиметров к более крупным метрам, поэтому числовое значение уменьшится. Один метр содержит 100 сантиметров.
Ответ: 3,45 м = 345 см; 275 см = 2,75 м. При переносе запятой каждый её шаг соответствует переходу через один разряд.
Задача 3. Длина ленты 2,75 м. От неё отрезали 85 см. Сколько метров ленты осталось? Нельзя сразу вычитать 85 из 2,75: первое число выражено в сантиметрах, второе — в метрах. Переведём длину отрезанного кусочка в метры, чтобы обе величины были записаны в одной единице.
Ответ: осталось 1,9 м ленты. Проверка: отрезанная часть меньше всей ленты, а сумма 1,9 м и 0,85 м равна 2,75 м.
При переводе единиц запятую иногда сдвигают не в ту сторону, потому что путают умножение и деление. Чтобы избежать ошибки, сначала выясни, увеличивается или уменьшается числовое значение: в более мелких единицах число будет больше. Затем проверь, соответствует ли число знаков переходу через разряды. Например, метры в сантиметры переводят умножением на 100, поэтому запятая идёт вправо на два знака.
Если пропустить ноль внутри десятичной записи, цифры займут другие разряды и число изменится. Нули могут обозначать отсутствующие десятые или сотые, как в 4,06, где нет десятых. Ошибку легко проверить чтением числа по разрядам: в 4,06 — четыре единицы и шесть сотых. Ноль справа после последней значащей цифры, напротив, можно добавить или убрать без изменения значения.
Дроби иногда сравнивают по числу знаков после запятой и решают, что запись с большим количеством цифр обязательно больше. Это неверно: число разрядов само по себе не определяет величину дроби. Припиши нули справа, чтобы у дробей было одинаковое число десятичных знаков, и сравни их поразрядно. Например, сравни 2,70 и 2,65, а не 2,7 и 2,65 по длине записи.
Складывать или вычитать измерения в разных единицах нельзя: числа относятся к разным масштабам. Эту ошибку допускают, когда сразу начинают считать, не посмотрев на обозначения возле чисел. Перед вычислением переведи все величины в одну единицу и подпиши единицу у результата. Проверка обратным переводом или сложением помогает убедиться, что ответ правдоподобен.
Для работы с десятичными дробями нужны знания об обыкновенных дробях, долях единицы и разрядах натуральных чисел. Перевод измерений опирается на знакомые единицы длины, массы, площади и объёма. Дальше эти умения понадобятся при действиях с десятичными дробями, задачах на проценты и масштаб, а также при переводе единиц. В жизни они помогают записывать результаты измерений и рассчитывать расстояния, массу, площадь и объём.
Почему 0,5 и 0,50 — это одно и то же число?
В записи 0,5 число 5 означает пять десятых, а в 0,50 — пятьдесят сотых. Поскольку 5/10 = 50/100, значения равны. Ноль справа только обозначает пустой следующий разряд.
Как понять, на сколько знаков нужно перенести запятую?
Посчитай, во сколько раз меняется числовое значение при переходе между единицами. При переходе к единице, которая в 10, 100 или 1000 раз мельче, запятая сдвигается вправо на 1, 2 или 3 знака. При переходе к более крупной единице она сдвигается влево; если цифр не хватает, допиши нули.
Можно ли сравнить 2,7 и 2,65 без перевода в обыкновенные дроби?
Да. Запиши 2,7 как 2,70, чтобы у дробных частей было одинаковое число разрядов. Тогда видно, что 2,70 больше 2,65.
Почему при переводе квадратных и кубических единиц множитель отличается от обычных единиц длины?
Площадь измеряют квадратными единицами, поэтому при переходе от квадратных метров к квадратным сантиметрам учитывают изменение по двум направлениям: множитель 100² равен 10 000. Для объёма учитывают три измерения, поэтому множитель возводят в третью степень: 100³ = 1 000 000. Это относится к переходам между единицами длины с соотношением 1 к 100.
Как записать измерение, если в одном из разрядов нет единиц?
На месте отсутствующего разряда нужно поставить ноль. Например, 3 единицы и 5 сотых записывают как 3,05: ноль показывает, что десятых нет. Без него запись 3,5 означала бы три единицы и пять десятых.
2.2. Десятичные дроби и метрическая система мер
