2.3. Сравнение десятичных дробей

Определения и обозначения

Десятичная дробь — это дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее, которую записывают с помощью запятой. Цифры после запятой показывают доли единицы: первая — десятые, вторая — сотые, третья — тысячные. Например, в числе 2,35 цифра 3 означает три десятых, а 5 — пять сотых. Такое чтение помогает понять, какую часть целого обозначает каждая цифра.

Разряды десятичной дроби — это места, которые занимают цифры в записи числа. Справа от запятой идут разряды десятых, сотых, тысячных и далее: каждый следующий разряд показывает долю, в десять раз меньшую предыдущей. Например, в числе 0,406 цифра 4 стоит в разряде десятых, 0 — сотых, а 6 — тысячных. Знание разрядов позволяет сравнивать цифры, не путая их значение.

Сравнение десятичных дробей — это установление того, какое из двух чисел больше, меньше или равно другому. Знак > читают «больше», знак < — «меньше», а знак = означает равенство. Например, запись 4,7 > 4,6 говорит, что первое число больше второго. Эти знаки нужны, чтобы кратко записывать результат сравнения.

Равные десятичные дроби — это дроби, которые обозначают одно и то же число, даже если после запятой у них разное количество цифр. Например, 0,5 и 0,50 равны: ноль справа увеличивает количество сотых, но не меняет величину дроби. Поэтому к десятичной записи можно дописывать нули справа или убирать их. Это свойство удобно, когда перед сравнением нужно сделать одинаковым количество знаков после запятой.

Как это устроено

Сравнение начинают с целых частей, потому что целые единицы крупнее любых долей единицы. Например, число 5 с любой дробной частью больше числа 4 с любой дробной частью: пяти целых уже больше, чем четырёх целых. Если целые части равны, этот шаг ничего не решает. Тогда нужно перейти к цифрам после запятой.

При равных целых частях цифры сравнивают по разрядам слева направо. Сначала смотрят на десятые, потому что они стоят ближе всего к запятой и обозначают самые крупные из рассматриваемых долей. Если десятые равны, сравнивают сотые, затем тысячные и так далее. Первое несовпадение определяет результат: дальше разряды уже не могут изменить преимущество, заданное этой цифрой.

Если в одной дроби меньше знаков после запятой, справа к ней можно дописать нули. Значение не изменится, потому что, например, семь десятых и семьдесят сотых — одна и та же величина. Так запись 3,1 превращается в 3,10, и обе дроби оказываются записаны с одинаковым количеством десятичных знаков. Это облегчает поразрядное сравнение и помогает не принять число знаков за величину числа.

Тот же способ можно объяснить через обыкновенные дроби. Если дроби записаны с одинаковым числом знаков после запятой, их можно представить с одинаковым знаменателем: например, десятые — как сотые, умножив числитель и знаменатель на 10. При одинаковых знаменателях больше та дробь, у которой больше числитель. Поэтому сравнение десятичных дробей после уравнивания разрядов сводится к сравнению числителей таких обыкновенных дробей.

Результат можно проверить на координатном луче — прямой, на которой числа отмечены по возрастанию слева направо. Если одно число расположено правее другого, оно больше; если левее — меньше. Например, отметка 0,8 будет правее 0,75, потому что 0,80 > 0,75. Луч даёт наглядную проверку сравнения, хотя для вычислений достаточно правила разрядов.

Как сравнивать десятичные дроби

Сначала найдите строку, которая подходит к вашей паре чисел. Выполняйте сравнение именно в указанном порядке: сначала целые части, затем дробные разряды. Если количество знаков различается, добавьте нули справа и продолжайте проверку.

Разбор задач

Задача 1. Сравните 4,7 и 4,6.

1. Сравним целые части: в обоих числах это 4, значит, они равны.
2. Перейдём к десятым: в первом числе стоит 7, во втором — 6.
3. Поскольку 7 > 6, первое число больше; дальше сравнивать нечего.

Ответ: 4,7 > 4,6.

Задача 2. Сравните 3,08 и 3,1.

1. Целые части равны и составляют 3.
2. В записи 3,1 только один знак после запятой, поэтому допишем ноль: 3,1 = 3,10.
3. Теперь сравним сотые: у 3,08 это 8, у 3,10 — 0. Десятые перед этим совпали: в обоих числах стоит 0 и 1 соответственно? Проверим записи: в 3,08 десятых 0, а в 3,10 десятых 1, поэтому различие находится уже в разряде десятых.
4. Так как 0 < 1, число 3,08 меньше 3,10.

Ответ: 3,08 < 3,1.

Задача 3. Расположите числа 2,305; 2,35; 2,053; 2,3 в порядке возрастания.

1. У всех чисел целая часть равна 2. Допишем нули, чтобы после запятой у каждого числа было три знака: 2,305; 2,350; 2,053; 2,300.
2. Сравним разряды десятых. У числа 2,053 стоит 0, а у остальных — 3; значит, 2,053 — наименьшее.
3. У трёх оставшихся чисел десятые равны 3. В сотых у 2,300 стоит 0, а у 2,305 и 2,350 — соответственно 0 и 5; поэтому 2,300 меньше двух последних.
4. Сравним 2,305 и 2,350: десятые одинаковы, но в сотых 0 < 5. Значит, 2,305 меньше 2,350.

Ответ: 2,053; 2,3; 2,305; 2,35.

Типичные ошибки

Ошибка — сравнивать дробные части как целые числа, не учитывая разряды. Так можно ошибочно решить, что 3,8 < 3,12, потому что 8 меньше 12. Но после записи 3,8 = 3,80 видно, что десятые 8 больше десятых 1. Чтобы проверить себя, уравняйте число знаков нулями и сравнивайте цифры по разрядам.

Некоторые считают, что ноль, дописанный справа, меняет значение десятичной дроби. Это происходит из-за привычки воспринимать каждую цифру как изменение числа без учёта её места. На самом деле 4,2 = 4,20: две десятых равны двадцати сотым. Проверка проста: представьте дроби как одинаковые доли или сравните их положение на координатном луче.

Нельзя начинать сравнение с последнего знака после запятой. Такой порядок кажется удобным, когда числа записаны по-разному, но он игнорирует то, что десятые важнее сотых, а сотые важнее тысячных. Начинайте с целых частей, затем двигайтесь от десятых к следующим разрядам. Для самопроверки проследите, что вы нашли первое различие слева, а не выбрали случайный разряд.

Ноль в середине дробной записи — не то же самое, что отсутствие разряда. Например, в числе 2,05 ноль означает, что десятых нет, а цифра 5 относится к сотым. Если пропустить этот ноль, число можно ошибочно сравнить как 2,5. Проверяйте место каждой цифры по порядку разрядов: десятые, сотые, тысячные.

Связь с другими темами

Для сравнения десятичных дробей нужно уметь читать их запись, различать разряды целой и дробной частей и понимать знаки >, < и =. Эти знания позволяют выполнить сравнение без догадок и правильно записать результат. Позже навык пригодится при округлении и действиях с десятичными дробями. Он также нужен в задачах на величины, например при сравнении расстояний, массы или времени.

Что запомнить

• Сначала сравнивают целые части.
• Если целые части равны, сравнивают дробные части поразрядно слева направо.
• Первое несовпадение цифр определяет, какая дробь больше.
• Нули справа после запятой можно дописывать или отбрасывать без изменения значения дроби.
• Чтобы сравнить дроби с разным количеством десятичных знаков, можно уравнять число знаков нулями.
• Из двух чисел больше то, которое расположено правее на координатном луче.