2.4. Сложение и вычитание десятичных дробей

Определения и обозначения

Десятичная дробь — это дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее. Вместо знаменателя используют запятую: 3,47 означает 3 целых 47 сотых, то есть 3 + 47/100. Такая запись помогает удобно сравнивать, складывать и вычитать части единицы.

Разряд десятичной дроби — это место цифры после запятой, связанное с определённой долей единицы. Первая цифра обозначает десятые, вторая — сотые, третья — тысячные. Разряды нужны, чтобы понимать, какие цифры можно складывать или вычитать друг с другом.

Сложение десятичных дробей — действие, при котором находят сумму чисел. Слагаемые записывают так, чтобы запятые находились на одной вертикальной линии, а цифры одинаковых разрядов стояли друг под другом. После этого вычисление выполняют поразрядно, как с натуральными числами.

Вычитание десятичных дробей — действие, при котором находят разность уменьшаемого и вычитаемого. Эти числа также записывают с совпадающими запятыми. Такой порядок записи позволяет правильно выполнить заимствование, если цифры одного разряда недостаточно.

Как это устроено

Цифры одного разряда обозначают одинаковые доли единицы, поэтому их можно складывать и вычитать. Например, две десятых и пять десятых дают семь десятых, а не семь сотых. Именно поэтому десятичные дроби вычисляют по разрядам, сохраняя значение каждой цифры.

Выравнивание запятых совмещает целые с целыми, десятые с десятыми, сотые с сотыми. Например, в записи 6,25 и 3,4 число 3,4 после выравнивания выглядит как 3,40. Теперь 5 сотых находятся под 0 сотых, 2 десятых — под 4 десятыми, а единицы — под единицами.

Ноль справа после последней цифры дробной части не добавляет новой величины. Одна десятая равна десяти сотым, поэтому 5,3 и 5,30 — одно и то же число. Благодаря этому можно дополнять короткую дробную часть нулями и получать одинаковое количество разрядов.

При сложении сначала выравнивают числа, затем складывают цифры справа налево. Если в каком-либо разряде получается 10 или больше, единицы результата этого разряда записывают, а десяток переносят в следующий разряд. Запятую результата ставят на той же вертикальной линии, что и запятые слагаемых.

При вычитании уменьшаемое и вычитаемое также выравнивают по запятым. Если цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого, занимают одну единицу из соседнего старшего разряда; она превращается в десять единиц текущего разряда. После вычисления запятая в разности должна находиться под запятыми исходных чисел.

Алгоритмы сложения и вычитания десятичных дробей

В таблице показано, что подготовка записи так же важна, как и само вычисление. Перед началом проверьте положение запятых и количество цифр после них. Последнюю строку используйте, когда нужно выровнять разряды нулями.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 3,4 + 2,1. После запятых в обоих числах по одной цифре, поэтому дополнять запись нулями не требуется. Нужно сложить единицы с единицами и десятые с десятыми.

1. Записываем числа столбиком: запятые находятся друг под другом.
2. Складываем десятые: 4 + 1 = 5.
3. Складываем единицы: 3 + 2 = 5, затем ставим запятую на прежнем месте.

Ответ: 3,4 + 2,1 = 5,5.

Задача 2. Вычислите 8,2 − 3,75. В числе 8,2 один знак после запятой, а в числе 3,75 — два. Запишем 8,2 как 8,20, чтобы сотые и десятые находились в соответствующих разрядах.

1. Вычитаем сотые: из 0 нельзя вычесть 5, поэтому занимаем 1 десятую; получаем 10 − 5 = 5 сотых.
2. В разряде десятых осталось 1, из него вычитаем 7: снова занимаем 1 единицу, получаем 11 − 7 = 4 десятых.
3. Из 7 единиц вычитаем 3 единицы и получаем 4, затем ставим запятую под запятыми.

Ответ: 8,2 − 3,75 = 4,45.

Задача 3. Вычислите 12,6 − (4,85 + 2,7). Сначала выполняем действие в скобках, потому что оно имеет первый приоритет. Число 2,7 дополним до 2,70, затем полученную сумму вычтем из 12,60.

1. Находим сумму в скобках: 4,85 + 2,70 = 7,55.
2. Записываем 12,6 как 12,60 и вычитаем 7,55.
3. Получаем 12,60 − 7,55 = 5,05, учитывая заимствование в сотых и десятых.

Ответ: 12,6 − (4,85 + 2,7) = 5,05.

Типичные ошибки

Совпадают последние цифры, а не запятые. Так десятые могут оказаться под сотыми, и результат будет неверным. Проверьте себя вертикальной линией: запятые должны стоять точно друг под другом.

Ноль справа считают изменением числа. Ошибка появляется из-за того, что цифр в записи становится больше. Вспомните равенство 5,3 = 5,30 и убедитесь, что ноль добавлен именно справа после последней цифры.

Запятую ставят по числу знаков в одном числе. Количество цифр после запятой само по себе не определяет положение запятой в результате. Проверьте ответ по столбику: запятая должна продолжать общую вертикальную линию.

Забывают перенос или заимствование. При сложении сумма разряда может дать десяток, а при вычитании текущей цифры может не хватить. После вычисления отдельно проверьте каждый разряд и наличие маленькой единицы, перенесённой или занятой.

Связь с другими темами

• Для этой темы нужны навыки записи десятичных дробей и понимание разрядного состава числа. Если вы различаете единицы, десятые и сотые, вы сможете правильно выровнять числа.
• Сложение и вычитание выполняются по знакомым правилам действий с натуральными числами. Поэтому полезно уверенно считать столбиком с переносом и заимствованием.
• Десятичные дроби встречаются в задачах о длине, массе, времени и деньгах. Умение вычислять с ними помогает находить общую стоимость, разность измерений и остаток величины.

Что запомнить

• Запятые в десятичных дробях при записи столбиком ставят друг под другом.
• Складывают и вычитают цифры одинаковых разрядов.
• Справа после запятой можно приписывать нули, не меняя значения числа.
• При сложении перенос единицы выполняют в следующий разряд.
• При вычитании при необходимости занимают единицу из старшего разряда.
• Запятую в ответе ставят под запятыми исходных чисел.