Сравнение десятичных дробей

Определения и обозначения

Десятичная дробь — запись дроби с помощью целой и дробной частей, разделённых запятой. Например, в числе 6,25 число 6 показывает целые единицы, а 25 — дробную часть. Такая запись помогает удобно показывать части целого и сравнивать числа.

Целая часть десятичной дроби — цифры слева от запятой. Сначала сравнивают именно их: число с большим количеством целых единиц больше, даже если его дробная часть мала. Например, 4,1 больше 3,99, потому что 4 больше 3.

Разряды десятичной дроби — позиции цифр после запятой: десятые, сотые, тысячные и далее. Первая цифра справа обозначает десятые, вторая — сотые, третья — тысячные. Знание разрядов нужно, чтобы сопоставлять одинаковые части чисел, а не отдельные цифры без учёта их места.

Равные десятичные дроби — дроби, которые имеют одинаковое значение, даже если после последней значащей цифры у одной из них приписаны нули. Например, 2,4 и 2,40 равны. Это свойство позволяет дописывать нули, когда нужно сравнить дроби с разным количеством знаков после запятой.

Как это устроено

Сначала сравнивают целые части, потому что они показывают, сколько полных единиц содержит число. Если у одной дроби целых единиц больше, никакая дробная часть другой дроби не сможет сделать её больше. Например, 5,01 больше 4,99: пять целых больше четырёх целых, хотя после запятой у первого числа записана маленькая часть.

Если целые части равны, сравнение продолжают по разрядам после запятой слева направо. Сначала смотрят на десятые, затем — если цифры десятых одинаковы — на сотые, после них на тысячные. Так находят первую позицию, где цифры отличаются: более крупная цифра в этом разряде означает большую дробь, потому что все предыдущие части у чисел совпадают.

Количество цифр после запятой само по себе не определяет величину дроби. Например, 0,8 больше 0,75, хотя у первой дроби знаков после запятой меньше. Длина записи сообщает лишь, насколько подробно показаны дробные разряды, а не насколько велико число.

Чтобы упростить сравнение, дроби можно записать с одинаковым количеством знаков после запятой. Для этого справа от дробной части с меньшим числом знаков дописывают нули: 3,4 можно записать как 3,40. Значение не меняется, потому что добавленный ноль означает ноль новых сотых или тысячных долей.

После сравнения результат записывают знаками «>», «<» или «=». Знак «>» читают «больше», знак «<» — «меньше», а «=» означает, что числа равны. Раскрытая сторона знака обращена к большему числу: в записи 7 > 2 семь больше двух, а в записи 2 < 7 два меньше семи.

Правила сравнения десятичных дробей

Пользуйся таблицей сверху вниз: сначала проверь целые части, затем переходи к следующему подходящему случаю. Если дробные части разной длины, допиши нули и сравни одинаковые разряды. Когда все соответствующие цифры совпали, поставь знак равенства.

Разбор задач

Сравнить 0,7 и 0,4

У обеих дробей целая часть равна нулю, поэтому целые части не помогают выбрать большее число. Сравним десятые: в 0,7 стоит цифра 7, а в 0,4 — цифра 4. Семь десятых больше четырёх десятых, значит, 0,7 больше 0,4.

1. Сравниваем целые части: 0 и 0, они равны.
2. Смотрим на разряд десятых: 7 > 4.
3. Записываем знак так, чтобы раскрытая сторона была у большего числа.

Ответ: 0,7 > 0,4.

Сравнить 3,47 и 3,405

Целые части равны, а дробные части записаны разным числом цифр. Чтобы не пропустить разряд, приравняем количество знаков после запятой: 3,47 = 3,470. Теперь можно сравнивать цифры по одинаковым позициям, не принимая короткую запись за меньшую дробь.

1. Сравниваем целые части: 3 и 3, они равны.
2. Записываем первую дробь с тремя знаками: 3,47 = 3,470.
3. Сравниваем десятые: 4 и 4, они равны; сотые: 7 и 0, поэтому 3,470 больше 3,405.

Ответ: 3,47 > 3,405.

Расположить числа 2,08; 2,8; 2,18; 1,99 в порядке возрастания

В порядке возрастания числа идут от меньшего к большему. Поэтому сначала отделим число с наименьшей целой частью: у 1,99 она равна 1, у остальных — 2. Три оставшихся числа сравним между собой, дописав ноль к 2,8 и проверив дробные разряды.

1. Сравниваем целые части: 1 меньше 2, значит, 1,99 будет первым.
2. Записываем 2,8 как 2,80; все остальные числа с целой частью 2.
3. Сравниваем десятые: у 2,08 стоит 0, у 2,18 — 1, у 2,80 — 8. Значит, после 1,99 числа идут в указанном порядке.

Ответ: 1,99; 2,08; 2,18; 2,8.

Типичные ошибки

• Иногда считают, что дробь с большим числом знаков после запятой обязательно больше. Так думают, потому что сравнивают длину записи, а не значения разрядов. Проверь себя, дописав нули к короткой записи: например, 0,8 = 0,80, а 0,80 > 0,75.

• Другая ошибка — сравнить только первые цифры после запятой и остановиться, даже если они равны. Тогда можно пропустить разряд, который на самом деле различает числа. Если десятые одинаковы, обязательно сравни сотые, а затем следующие разряды, пока не встретится различие.

• Можно забыть приписать ноль справа и решить, что 4,5 меньше 4,49, потому что 5 меньше 49. Такое сравнение неверно: цифры 5 и 49 относятся к разным разрядам. Запиши 4,5 как 4,50 и сравни сотые: 50 сотых больше 49 сотых.

• Иногда знак сравнения ставят не в ту сторону, особенно если произносят числа вслух и торопятся. Проверяй запись чтением: 8 > 3 означает «восемь больше трёх», а 3 < 8 — «три меньше восьми». Открытая часть знака должна смотреть на большее число.

Связь с другими темами

Перед этой темой полезно знать, какое значение имеет цифра в записи числа, и узнавать разряды. Также пригодится умение сравнивать натуральные числа и обыкновенные дроби. Дальше сравнение понадобится при округлении и выполнении действий с десятичными дробями, а ещё — в задачах на величины. В жизни этот навык помогает сопоставлять цены, длины, массы, температуры и результаты измерений.

Что запомнить

• Сначала сравнивают целые части десятичных дробей.
• Если целые части равны, сравнивают цифры после запятой слева направо.
• Первый различающийся разряд определяет, какая дробь больше.
• Справа от последней цифры можно приписывать нули.
• Количество знаков после запятой не определяет величину дроби.
• Одинаковые десятичные дроби записывают со знаком «=».