§ 9. Деление десятичных дробей

Определения и обозначения

Деление десятичной дроби на натуральное число — это нахождение частного, когда делитель является целым положительным числом, например 18,9 : 3. Дробь делят по разрядам, учитывая её целую и десятичную части. Этот способ нужен, когда величину распределяют поровну или выясняют, сколько раз она содержит другую величину.

Деление на десятичную дробь — это деление, при котором делитель содержит запятую, например 7,56 : 0,6. Чтобы выполнить его обычным способом, делитель превращают в натуральное число, умножая делимое и делитель на одну и ту же степень 10. Так легче считать, а значение частного сохраняется.

Частное — результат деления. Например, в записи 18,9 : 3 = 6,3 числом 6,3 называют частное. Проверить его можно умножением: частное, умноженное на делитель, должно дать делимое.

Деление десятичных дробей выполняют одним из двух способов в зависимости от делителя. Если делитель натуральный, делят поразрядно; если он десятичный, сначала превращают его в натуральный и затем делят. Такое правило позволяет свести разные примеры к знакомому делению натуральных чисел.

Как это устроено

При делении десятичной дроби на натуральное число начинают с целой части и выполняют деление поразрядно, как при делении натуральных чисел. Как только целая часть делимого разделена, в частном ставят запятую и переходят к цифрам после запятой. Запятая показывает границу между целыми единицами и их долями, поэтому её положение связано с ходом деления, а не просто с местом запятой в делимом.

Если делимое меньше делителя, целую часть частного записывают нулём и продолжают деление десятичной части. Например, при делении 2,4 на 6 сначала видно, что целых единиц для деления нет, поэтому частное начинается с 0 целых. Когда цифр делимого не хватает, справа приписывают нули: 2,4 можно записать как 2,40, не меняя значения числа, и продолжить деление.

При делении на десятичную дробь нужно сделать делитель натуральным числом. Для этого считают цифры после запятой у делителя и умножают оба числа на подходящую степень 10: на 10, 100, 1000 и так далее. Например, в делителе 0,6 одна цифра после запятой, поэтому оба числа умножают на 10: 7,56 : 0,6 превращается в 75,6 : 6.

Почему при таком преобразовании частное не меняется? Деление показывает, во сколько раз одно число больше другого, то есть отношение делимого к делителю. Если оба числа умножить на одно и то же ненулевое число, они увеличатся одинаково, и отношение останется тем же: например, 7,56 : 0,6 = 75,6 : 6. Поэтому можно изменить запись примера, чтобы делить было удобнее, не меняя ответ.

Перед вычислением полезно оценить, каким примерно должно быть частное: это помогает заметить ошибку в разрядах. Например, 7,56 : 0,6 должно быть больше 7,56, потому что делим на число меньше единицы; ответ 1,26 сразу вызывает сомнение. После вычисления умножь частное на делитель: если произведение совпадает с делимым, результат проверен.

Способы деления десятичных дробей

Сначала найди в таблице строку, которая подходит к примеру, а затем выполняй действия в указанном порядке. Особенно внимательно следи за запятой: при делении на десятичную дробь она сдвигается одинаково в обоих числах. После вычисления проверь, похож ли ответ на ожидаемый по смыслу примера.

Разбор задач

Вычислите 18,9 : 3.

Делитель 3 — натуральное число, поэтому превращать его в другое число не нужно. Делим поразрядно: в делимом есть 18 целых и 9 десятых. Запятую в ответе ставим после того, как разделили целую часть.

1. Разделим 18 на 3: получим 6 целых.
2. Ставим запятую в частном и переходим к десятым.
3. Разделим 9 десятых на 3: получим 3 десятых.
4. Запишем результат: 18,9 : 3 = 6,3.

Ответ: 6,3. Проверим умножением: 6,3 × 3 = 18,9. Значит, частное найдено верно, а десятичная часть записана на нужном месте.

Вычислите 7,56 : 0,6.

Делитель 0,6 — десятичная дробь, и делить напрямую неудобно. В нём одна цифра после запятой, поэтому умножим делимое и делитель на 10: запятая в каждом числе сдвинется на один разряд вправо. Частное при этом не изменится.

1. Преобразуем пример: 7,56 : 0,6 = 75,6 : 6.
2. Делим 75,6 на 6 поразрядно: 75 : 6 даёт 12 целых, остаток соответствует 3,6.
3. Продолжаем деление: 3,6 : 6 = 0,6, значит, получаем 12,6.
4. Проверяем: 12,6 × 0,6 = 7,56.

Ответ: 12,6. Ответ больше 7,56, что разумно: исходное число делили на 0,6, то есть на величину меньше единицы. Такая оценка помогает заметить возможную ошибку с запятой.

Из 12,6 л сока разлили поровну в бутылки по 0,7 л. Сколько бутылок понадобилось?

Нужно выяснить, сколько порций по 0,7 л содержится в 12,6 л, поэтому составим деление 12,6 : 0,7. Делитель десятичный, значит, сначала превратим его в натуральный. Полученное число бутылок должно быть целым, потому что все бутылки наполняют одинаково и используют весь сок.

1. В делителе 0,7 одна цифра после запятой, поэтому умножим оба числа на 10.
2. Получим равносильный пример: 12,6 : 0,7 = 126 : 7.
3. Вычислим: 126 : 7 = 18.
4. Проверим смысл ответа: 18 бутылок по 0,7 л вмещают 18 × 0,7 = 12,6 л.

Ответ: понадобилось 18 бутылок. Проверка показывает, что весь сок разлит без остатка. Если бы ответ получился меньше единицы или дробным, стоило бы ещё раз проверить вычисления и понять, соответствует ли результат условию задачи.

Типичные ошибки

Сдвигают запятую только в делителе. Тогда меняется его значение, а делимое остаётся прежним, поэтому частное уже не соответствует исходному примеру. Такую ошибку допускают, сосредоточившись только на превращении делителя в натуральное число. Проверяй себя: запятая должна сдвинуться одинаково в делимом и делителе.

Ставят запятую в частном прямо напротив запятой делимого. При делении на натуральное число это может поставить её не на то место, потому что важен ход деления целой части. Ошибка появляется, когда запятую считают меткой, которую нужно просто переписать. Сначала раздели целую часть, затем поставь запятую; результат также можно проверить умножением.

Не записывают ноль в частном, если разряд не делится на делитель. Без этого нуля следующие цифры сдвигаются и получают неверное разрядное значение. Часто ноль пропускают, потому что считают его ненужным. Сверяй разряды по ходу деления и проверяй итог произведением частного на делитель.

Считают, что справа к десятичной дроби нельзя приписывать нули. Записи 4,5 и 4,50 обозначают одно и то же число, поэтому такой ноль не меняет делимое. Его можно использовать, когда нужно продолжить деление, а цифры закончились. Если сомневаешься, сравни значения дробей или проверь деление умножением.

Связь с другими темами

Чтобы делить десятичные дроби, нужно знать разрядный состав чисел и понимать, что нули справа после запятой не меняют значение дроби. При преобразовании делителя пригодятся правила умножения на 10, 100 и 1000: запятая сдвигается вправо. Связь деления с умножением нужна для проверки результата.

Деление десятичных дробей встречается в задачах о цене, массе, длине и расходе: например, так находят число порций или стоимость одной вещи. Оно помогает вычислять среднее значение и сравнивать отношения величин. В каждой такой задаче полезно сначала определить, что означает частное, а затем оценить ответ по смыслу.

Что запомнить

• При делении десятичной дроби на натуральное число дели поразрядно.
• Запятую в частном при делении на натуральное число ставь после деления целой части.
• Чтобы делить на десятичную дробь, преврати делитель в натуральное число.
• При этом умножай делимое и делитель на одну и ту же степень 10.
• К делимому справа можно приписывать нули, не меняя его значения.
• Проверь деление умножением частного на делитель.
• Оцени результат заранее, чтобы заметить ошибку в разрядах.