"Математика", Ткачёва М.В.
Умножение десятичных дробей помогает находить площадь, стоимость и другие величины, записанные десятичными числами. Чтобы перемножить такие дроби, сначала считают их как натуральные числа, не обращая внимания на запятые, а затем возвращают запятую в произведение. Главное — сложить количество цифр после запятой в обоих множителях и при необходимости добавить нули слева.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Десятичная дробь — число, записанное с помощью целой и дробной частей, разделённых запятой: 4,27. Целая часть показывает целые единицы, а десятичная часть — доли единицы. Такое представление удобно для измерений, денег и вычислений с величинами.
Произведение десятичных дробей — результат умножения двух или нескольких десятичных дробей. Например, в выражении 1,2 · 0,5 число 0,6 является произведением. Десятичные дроби можно заменить соответствующими обыкновенными дробями, поэтому их умножение подчиняется тому же смыслу: перемножаются числители и знаменатели.
Правило умножения десятичных дробей состоит из двух действий: сначала перемножают числа без запятых, затем определяют место запятой в полученном числе. Количество знаков после запятой в ответе равно сумме знаков после запятой в множителях. Это правило позволяет выполнять вычисления обычным умножением натуральных чисел.
Десятичная дробь связана с делением на степень десяти: 2,4 = 24/10, а 0,36 = 36/100. Поэтому 2,4 · 1,3 можно записать как 24/10 · 13/10 = (24 · 13)/100. После умножения числителей нужно разделить результат на 100, то есть отделить справа две цифры.
Умножение без запятых выполняют так же, как умножение натуральных чисел. Запятые временно не учитывают, потому что их значение уже связано со знаменателями 10, 100 и другими степенями десяти. Все цифры результата сохраняют: даже ноль внутри произведения может быть нужен для правильной записи числа.
Число знаков после запятой находят отдельно в каждом множителе. Если в одном множителе две цифры после запятой, а в другом одна, всего получится три десятичных знака. Так учитываются все множители степени десяти, на которые фактически делится произведение.
Запятую ставят справа налево, отсчитывая найденное общее количество знаков. Например, при трёх знаках в числе 7560 запятая окажется так: 7,560. Такой порядок гарантирует, что произведение разделено на нужную степень десяти, а не просто записано с произвольной запятой.
Иногда произведение без запятой короче, чем нужно для отделения дробной части. Тогда слева приписывают нули: 36 · 5 = 180, а при трёх знаках получают 0,180. Ноль перед запятой показывает целую часть, а ноль в конце дробной части можно позже убрать: 0,180 = 0,18.
| Шаг | Действие |
|---|---|
| 1 | Записать множители без запятых и выполнить умножение |
| 2 | Посчитать общее количество знаков после запятой в множителях |
| 3 | Отделить запятой справа в произведении нужное количество знаков |
| 4 | При необходимости приписать нули слева от произведения |
Пользуйтесь таблицей как короткой инструкцией: сначала выполняйте целочисленное умножение, а постановку запятой оставляйте на конец. Перед записью ответа ещё раз пересчитайте знаки после запятой в обоих множителях. Если результат получился с лишним нулём в конце дробной части, его можно убрать.
Вычислим 2,4 · 1,3. В первом множителе один знак после запятой, и во втором тоже один знак. Значит, в ответе должны остаться два десятичных знака.
Ответ: 3,12. Оценка подтверждает результат: 2,4 примерно равно 2, а 1,3 примерно равно 1, поэтому произведение должно быть около 2–3.
Вычислим 0,36 · 0,5. В числе 0,36 два знака после запятой, а в числе 0,5 — один, всего три. Поэтому после запятой в произведении нужно сохранить три позиции.
Ответ: 0,18. Это правдоподобно, потому что умножение числа 0,36 на число, меньшее единицы, должно уменьшить результат.
Длина прямоугольного участка равна 3,75 м, ширина — 1,6 м. Площадь прямоугольника находят умножением длины на ширину, поэтому составляем выражение 3,75 · 1,6. Ответ должен быть немного больше 3,75, так как ширина больше единицы.
Ответ: площадь участка равна 6 м². Приблизительная проверка даёт 4 · 1,5 = 6, поэтому точный результат выглядит разумно.
Ошибка 1. Ученик считает знаки после запятой только в одном множителе. Так происходит, когда он переносит в ответ запятую сразу после первого вычисления. Нужно каждый раз складывать количества знаков в обоих множителях.
Ошибка 2. Запятую ставят по числу цифр в одном множителе, а не по общей сумме. Из-за этого произведение оказывается увеличенным или уменьшенным в 10, 100 и более раз. Проверка оценкой быстро показывает такую ошибку.
Ошибка 3. Если произведение без запятой короткое, некоторые забывают нули слева. Например, из 180 при трёх знаках нельзя сразу получить 1,80: правильная запись — 0,180. Сначала отсчитайте нужное число позиций, а уже потом убирайте конечный ноль.
Ошибка 4. Нули иногда приписывают не слева или переставляют запятую внутри числа. Это меняет значение произведения, потому что ноль перед запятой и ноль в конце дробной части выполняют разные роли. Сравните ответ с приблизительной оценкой и проверьте разряд каждого знака.
До изучения умножения десятичных дробей нужно уметь перемножать натуральные числа. Также важно понимать, как деление на 10, 100 и другие степени десяти изменяет положение запятой. Эти знания объясняют, почему запятая в произведении ставится именно так.
Умножение десятичных дробей встречается при вычислении площади и объёма, нахождении стоимости покупки и работе с единицами измерения. Длина, цена или масса часто записываются десятичными числами, поэтому без этого правила трудно решать практические задачи.
Правило станет основой для дальнейших действий с десятичными и обыкновенными дробями. Оно также помогает выполнять вычисления в задачах, где встречаются несколько действий и разные формы записи чисел.
Почему при умножении сначала можно не обращать внимания на запятые?
Десятичную дробь можно представить как натуральное число, делённое на 10, 100 или другую степень десяти. Поэтому сначала удобно перемножить целые части чисел, а затем учесть деление на степени десяти постановкой запятой.
Как узнать, сколько цифр должно быть после запятой в произведении?
Нужно посчитать цифры после запятой в каждом множителе и сложить эти количества. Полученная сумма показывает, сколько знаков должно быть после запятой в произведении.
Что делать, если в произведении не хватает цифр для запятой?
Слева от произведения приписывают необходимое количество нулей, а затем ставят запятую. Например, 36 · 5 = 180, а при трёх десятичных знаках получается 0,180.
Можно ли убрать нули в конце полученной десятичной дроби?
Да, нули в конце дробной части можно убрать, потому что они не меняют значение числа. Например, 2,500 = 2,5.
Как проверить, правдоподобен ли результат умножения?
Округлите множители до удобных чисел и приблизительно перемножьте их. Если точный ответ заметно отличается от оценки или имеет неподходящий порядок, проверьте вычисления и запятую.
§ 8. Умножение десятичных дробей
