§ 7. Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т. д

Определения и обозначения

Десятичная дробь — это число, записанное с помощью целой и дробной частей, разделённых запятой. Например, в числе 12,47 целая часть равна 12, а дробная состоит из цифр 47. Положение запятой показывает, какие цифры относятся к единицам, десятым, сотым и другим разрядам.

Разрядная единица — это число 10, 100, 1000 и так далее, то есть единица с одним или несколькими нулями. Такие числа связаны с переходом между разрядами: 10 единиц составляют десяток, 100 единиц — сотню. Понимание разрядных единиц помогает определить, на сколько знаков перемещать запятую.

Умножение десятичной дроби на 10, 100, 1000 и далее означает увеличение числа в соответствующее число раз. На практике это выполняют переносом запятой вправо: на один знак при умножении на 10, на два при умножении на 100 и так далее. Такой способ быстро показывает результат без обычного умножения столбиком.

Деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 и далее означает уменьшение числа в 10, 100, 1000 раз. При этом запятую переносят влево на число знаков, равное количеству нулей в делителе. Это правило позволяет делить и целые, и дробные числа одним способом.

Как это устроено

При умножении на 10 каждая цифра переходит в соседний более высокий разряд: единицы становятся десятками, десятые — единицами. Поэтому значение числа увеличивается в десять раз, а запятая сдвигается вправо на один знак. При умножении на 100 происходит переход сразу через два разряда, поэтому запятая сдвигается на два знака, а при умножении на 1000 — на три.

При делении разряды изменяются в обратную сторону. Цифра из разряда единиц при делении на 10 переходит в разряд десятых, поэтому число уменьшается, а запятая движется влево на один знак. Деление на 100 и 1000 означает переход соответственно на два и три разряда в сторону меньших единиц.

Количество знаков перемещения легко определить по нулям в разрядной единице. В числе 10 один ноль, значит, нужен один перенос; в числе 100 два нуля, значит, два переноса; в числе 1000 три нуля, значит, три переноса. То же правило работает для 10 000 и других чисел: запятую перемещают на столько знаков, сколько нулей записано после единицы.

Иногда длины записи не хватает для нужного переноса. При умножении запятую мысленно двигают вправо, а если справа закончились цифры, дописывают нули: 4,7 · 1000 = 4700. При делении запятую двигают влево, и перед первой цифрой ставят недостающие нули: 5,6 : 1000 = 0,0056. Нули здесь нужны для правильной записи разрядов.

Нули в конце десятичной записи не меняют значения числа, потому что добавляют доли, равные нулю. Например, 2,5 = 2,50 = 2,500: во всех случаях это две целых пять десятых. Поэтому после умножения нули можно оставить для удобства записи или убрать, если они стоят после последней значащей цифры.

Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т. д.

В таблице число нулей показывает количество знаков переноса запятой. Сначала определите действие, затем выберите разрядную единицу и проверьте, хватает ли цифр для перемещения. После вычисления оцените результат: при умножении он должен стать больше, а при делении — меньше.

Разбор задач

Умножение на 100

Вычислим 3,47 · 100. Множитель 100 содержит два нуля, значит, запятую нужно перенести вправо на два знака. Справа уже достаточно цифр, поэтому дописывать нули не требуется.

1. Записываем число 3,47.
2. Переносим запятую на два знака вправо: 3,47 → 347.
3. Проверяем результат: умножение на 100 увеличило число.

Ответ: 347.

Деление на 1000

Вычислим 56,8 : 1000. В делителе три нуля, поэтому запятую переносим влево на три знака. В записи 56,8 слева недостаточно цифр, поэтому перед числом появляются нули.

1. Записываем 56,8 и мысленно ставим запятую после цифры 6.
2. Двигаем её влево на три позиции: 56,8 → 0,0568.
3. Проверяем результат: после деления число стало меньше 56,8.

Ответ: 0,0568.

Задача про муку

Из 7,2 кг муки сделали 100 одинаковых пакетов. Чтобы узнать массу муки в одном пакете, общее количество муки нужно разделить на число пакетов. Получается деление десятичной дроби на 100, поэтому запятую переносим влево на два знака.

1. Составляем выражение: 7,2 : 100.
2. Переносим запятую на два знака влево: 7,2 → 0,072.
3. Проверяем единицы измерения: результат выражен в килограммах, как и требовалось.

Ответ: 0,072 кг муки в одном пакете.

Типичные ошибки

Запятую иногда перемещают влево при умножении или вправо при делении. Так происходит, если забывают, увеличивает или уменьшает число действие. Проверьте результат по смыслу: после умножения он должен быть больше исходного, после деления — меньше.

Некоторые переносят запятую только на один знак при любом действии. Причина ошибки — невнимательность к количеству нулей. Посчитайте нули в 10, 100 или 1000: это и есть число знаков переноса.

При делении запятую переносят левее первой цифры, но не записывают нужные нули. Из-за этого получается неверная разрядная запись. Обозначьте нулями все пропущенные позиции, например 4,5 : 100 = 0,045.

Иногда считают, что нули в конце результата обязательны или, наоборот, что их удаление меняет число. Нули после последней значащей цифры можно оставить или убрать: 6,40 и 6,4 имеют одинаковое значение. Проверить это можно, представив дробь в десятых и сотых.

Связь с другими темами

До этой темы нужно знать разряды десятичной дроби, значение цифры в каждом разряде и запись чисел с нулевой целой частью, например 0,37. Эти знания объясняют, почему запятая меняет положение.

Правило связано с обыкновенными дробями: деление на 10, 100 и 1000 можно представить как умножение на дроби 1/10, 1/100 и 1/1000. Позже оно пригодится при вычислениях с единицами измерения, переводе величин и действиях с десятичными дробями в выражениях и задачах.

Что запомнить

• При умножении на 10, 100, 1000 запятая перемещается вправо на 1, 2, 3 знака соответственно.
• При делении на 10, 100, 1000 запятая перемещается влево на 1, 2, 3 знака соответственно.
• Число знаков перемещения равно числу нулей в разрядной единице.
• Если цифр не хватает, при умножении дописывают нули справа, а при делении — слева.
• Нули в конце десятичной дроби не изменяют её значения.
• Результат нужно проверить по смыслу: умножение на число больше 1 увеличивает число, а деление уменьшает его.