§ 6. Сложение и вычитание десятичных дробей

Определения и обозначения

Десятичная дробь — это дробь, у которой знаменатель равен 10, 100, 1000 и так далее. В записи 7,25 число 7 называют целой частью, а 25 — дробной частью. Такое представление удобно для вычислений с величинами, например с рублями, метрами и килограммами.

Разряды десятичной дроби — это десятые, сотые, тысячные и последующие доли. В числе 4,378 цифра 3 показывает десятые, 7 — сотые, а 8 — тысячные. Знание разрядов нужно, чтобы складывать и вычитать только одинаковые доли.

Сложение десятичных дробей — это нахождение их суммы с учётом соответствия разрядов. Например, десятые складывают с десятыми, сотые — с сотыми. Это правило не позволяет случайно соединить целые единицы с сотыми или другие разные доли.

Вычитание десятичных дробей — это нахождение разности, то есть того, сколько останется после уменьшения одного числа на другое. При вычислении также сопоставляют целые, десятые, сотые и другие разряды. Поэтому результат показывает правильное количество единиц каждого вида.

Как это устроено

Запятые выравнивают по одному вертикальному столбцу, потому что положение цифры определяет её значение. Если запятые совпали, справа друг под другом окажутся десятые, сотые и тысячные, а слева — единицы, десятки и другие целые разряды. Например, запись 12,5 под 3,47 без выравнивания запятых могла бы привести к сложению разных разрядов.

Сложение десятичных дробей можно свести к сложению натуральных чисел. Для этого сначала уравнивают число знаков после запятой, убирают запятые и складывают получившиеся целые записи, а затем возвращают запятую на прежнее место. Например, 3,47 + 12,50 превращается в сложение 347 и 1250 с двумя знаками после запятой в результате.

При вычитании заём выполняют по разрядам так же, как у натуральных чисел. Если в текущем разряде уменьшаемого цифра меньше цифры вычитаемого, берут одну единицу из соседнего разряда слева и превращают её в десять единиц текущего разряда. Поэтому соседнюю цифру после займа обязательно уменьшают на единицу.

Нули справа после запятой не меняют значения десятичной дроби, потому что десять десятых равны одной целой, а сто сотых — одной целой. Поэтому 8,2 можно записать как 8,200 и сравнивать разряды без потери точности. Запятая в ответе появляется под запятыми исходных чисел, поскольку разрядная сетка сохраняется во время всего вычисления.

Алгоритмы сложения и вычитания десятичных дробей

Таблица помогает сравнить два похожих алгоритма и увидеть отличие вычитания: при нём иногда требуется заём. Перед вычислением проверьте запись чисел и положение запятых. После вычисления выберите обратное действие для проверки.

Разбор задач

Задача 1. Вычислить: 3,47 + 12,5

Нужно сложить числа, в которых разное количество знаков после запятой. Уравняем записи, чтобы сотые оказались в одном столбце. Затем выполним сложение справа налево.

1. Запишем 12,5 как 12,50.
2. Расположим числа столбиком: 3,47 + 12,50.
3. Сложим сотые: 7 + 0 = 7, затем десятые: 4 + 5 = 9.
4. Сложим целые части: 3 + 12 = 15 и поставим запятую под запятыми.

Ответ: 15,97.

Задача 2. Вычислить: 8,2 − 3,756

У уменьшаемого не хватает цифр в разрядах сотых и тысячных. Представим его как 8,200, после чего выполним вычитание с заёмом. Такая запись сохраняет значение числа, но делает разряды видимыми.

1. Запишем 8,2 как 8,200.
2. Из 0 тысячных нельзя вычесть 6 тысячных, поэтому занимаем единицу сотых, но там тоже 0; занимаем единицу десятых, уменьшая 2 до 1.
3. Полученную сотню сотых превращаем в 10 сотых: одну занимаем для тысячных, поэтому остаётся 9 сотых, а тысячных становится 10.
4. Вычитаем: 10 − 6 = 4, 9 − 5 = 4, 1 − 7 нельзя, поэтому занимаем единицу целых; 11 − 7 = 4, затем 7 − 3 = 4.

Ответ: 4,444.

Задача 3. Из 25,6 м ткани отрезали 3,75 м, а затем ещё 8,425 м. Сколько ткани осталось?

После каждого отрезания количество ткани уменьшается, поэтому составим выражение с двумя вычитаниями. Все числа приведём к тысячным, чтобы действия были удобными. Ответ должен быть меньше 25,6 м и примерно равен 13 м.

1. Запишем выражение: 25,600 − 3,750 − 8,425.
2. Выполним первое вычитание: 25,600 − 3,750 = 21,850.
3. Вычтем вторую отрезанную длину: 21,850 − 8,425 = 13,425.
4. Проверим смысл: всего отрезали 12,175 м, а 25,6 − 12,175 = 13,425 м.

Ответ: осталось 13,425 м ткани.

Типичные ошибки

Запятые записывают не друг под другом и складывают или вычитают разные разряды. Такая ошибка возникает, когда числа пытаются выровнять по правому краю, не учитывая запятую. Проверьте себя: все запятые должны находиться в одном вертикальном столбце.

Некоторые не уравнивают количество знаков после запятой или считают дописанные нули обязательными значащими цифрами. Нули справа нужны только для удобной записи и не меняют числа: 6,5 = 6,50. Проверьте результат, заменив число обратно на исходную запись.

Запятую в ответе иногда ставят по количеству цифр или оставляют там, где закончились вычисления. При таком способе разряды могут сместиться, и ответ станет неверным. Проверьте, совпадает ли запятая ответа с запятыми исходных чисел.

При займе изменяют не тот разряд или забывают уменьшить соседний разряд на единицу. Это происходит, когда переход через нулевой разряд выполняют мысленно и пропускают промежуточный шаг. Записывайте изменения по цепочке и затем проверяйте вычитание сложением.

Связь с другими темами

До этой темы нужны знания о разрядах натуральных чисел и десятичных дробей, сравнении десятичных дробей, а также свойствах сложения и вычитания. Они помогают правильно расположить цифры и оценить ответ.

Сложение и вычитание десятичных дробей применяются в текстовых задачах на длину, массу, время и стоимость. Без них трудно выполнять денежные и другие практические расчёты.

Дальше изучаются умножение и деление десятичных дробей, а также действия с приближёнными значениями. Навык выравнивания разрядов и проверки результата пригодится и в этих темах.

Что запомнить

• При сложении и вычитании десятичных дробей запятые выравнивают по вертикали.
• Количество знаков после запятой можно уравнять, дописав справа нули.
• Действия выполняют по разрядам так же, как с натуральными числами.
• Запятая в ответе должна находиться под запятыми исходных чисел.
• При вычитании заём выполняют по соседним разрядам.
• Результат полезно проверить обратным действием или оценкой.