§ 5. Сравнение десятичных дробей

Определения и обозначения

Десятичная дробь — число, записанное с помощью целой части, запятой и цифр дробной части. Например, в записи 12,35 число 12 — целая часть, а 35 — дробная часть, то есть цифры справа от запятой. Такая запись удобна, когда нужно показать целое число и его долю.

Разряды десятичной дроби — позиции цифр после запятой: десятые, сотые, тысячные и следующие. В числе 0,406 цифра 4 стоит в разряде десятых, 0 — сотых, а 6 — тысячных. Разряд показывает, какую долю единицы обозначает цифра, поэтому при сравнении важно учитывать не только сами цифры, но и их места.

Равные десятичные дроби — дроби с одинаковым значением, даже если их записи различаются нулями в конце. Например, 2,5 и 2,50 равны: пять десятых — это то же самое, что пятьдесят сотых. Это свойство позволяет дополнять короткую запись нулями, чтобы удобнее сравнивать разряды.

Сравнение десятичных дробей — определение, какое из чисел больше, меньше или равно другому. Результат записывают знаками >, < и =. Сравнение нужно, чтобы упорядочить числа и верно оценить, например, две цены или длины.

Как это устроено

Сначала сравнивают целые части, потому что они показывают количество целых единиц в числе. Если целые части разные, дробная часть уже не может изменить порядок чисел: например, число с 7 целыми единицами больше числа с 6 целыми. Поэтому 7,2 > 6,99, хотя дробная часть 0,2 меньше 0,99.

Если целые части одинаковые, сравнивают дробные части по разрядам слева направо. Сначала смотрят на десятые, потому что это ближайший к запятой разряд и он показывает более крупные доли, чем сотые или тысячные. Если десятые совпали, переходят к сотым, затем к тысячным и далее; так находят разряд, который первым меняет порядок дробей.

Перед сравнением удобно сделать одинаковым количество цифр после запятой. Для этого справа к более короткой записи приписывают нули: например, 2,5 записывают как 2,50. Значение не меняется, потому что добавленный ноль обозначает ноль следующих долей: пять десятых — это пятьдесят сотых. Так записи проще сопоставлять разряд за разрядом.

Как только найдена первая пара отличающихся цифр, остальные разряды уже не нужны для решения. Дробь, у которой в этом разряде цифра больше, и будет больше, потому что предыдущие разряды у чисел совпадают. Например, в 4,37 и 4,40 целые и десятые одинаковы, но в разряде сотых 7 меньше 0? Нет: здесь десятые уже различаются — 3 меньше 4, поэтому 4,37 < 4,40.

После сравнения записывают знак так, чтобы его острие указывало на меньшее число, а раскрытая сторона — на большее. Знак = ставят, если значения одинаковы. Чтобы расположить несколько дробей по возрастанию или убыванию, сравнивают их между собой, находят нужный порядок и записывают числа от меньшего к большему или наоборот.

Правила сравнения десятичных дробей

Начинай с проверки целых частей, а затем переходи к дробным разрядам. Если количество цифр после запятой различается, сначала дополни короткие записи нулями справа. Для нескольких чисел выбери нужный порядок и проверяй каждую дробь относительно соседних.

Разбор задач

Сравнить 3,7 и 3,07

Целые части одинаковые, поэтому нужно сравнить дробные части. У первой дроби после запятой одна цифра, у второй — две; чтобы видеть оба разряда, дополним первую запись нулём. Ноль справа не изменит число, но поможет сопоставить десятые и сотые.

1. Запишем 3,7 в виде 3,70.
2. Сравним десятые: в обеих дробях стоит цифра 7.
3. Сравним сотые: в 3,70 стоит 0, а в 3,07 — 7. Значит, 3,70 меньше 3,07? Проверим записи: в 3,70 цифра десятых равна 7, а в 3,07 — 0. Первое различие находится уже в разряде десятых.
4. Так как 7 больше 0, число 3,70 больше 3,07.

Ответ: 3,7 > 3,07.

Сравнить 5,408 и 5,48

Целые части равны, но количество цифр после запятой разное. Допишем к короткой записи ноль: так появится третий разряд и можно будет сравнить записи по порядку. Затем найдём первое место, в котором цифры не совпадают.

1. Запишем 5,48 как 5,480.
2. Сравним десятые: в обоих числах стоит 4.
3. Сравним сотые: в 5,408 стоит 0, а в 5,480 — 8.
4. Так как 0 меньше 8, дробь 5,408 меньше 5,480; дальше разряды сравнивать не нужно.

Ответ: 5,408 < 5,48.

Расположить в порядке возрастания 0,75; 0,705; 0,8; 0,755

Все целые части равны нулю, поэтому решают цифры после запятой. Уравняем число разрядов, дописав справа нули: так легче найти первые различия. Порядок возрастания означает, что каждое следующее число должно быть больше предыдущего.

1. Запишем дроби с тремя знаками после запятой: 0,750; 0,705; 0,800; 0,755.
2. Самая маленькая дробь — 0,705: у неё десятые равны 7, как у 0,750 и 0,755, но сотые 0 меньше 5. Число 0,800 больше остальных, потому что его цифра десятых 8, а у остальных — 7.
3. Между 0,750 и 0,755 первые две цифры после запятой совпадают. В разряде тысячных 0 меньше 5, значит, 0,750 меньше 0,755.
4. Запишем числа от наименьшего к наибольшему, вернув при необходимости исходные записи.

Ответ: 0,705 < 0,75 < 0,755 < 0,8.

Типичные ошибки

Некоторые считают, что дробь с большим числом цифр после запятой обязательно меньше. Например, из-за длинной записи можно ошибочно решить, что 0,125 меньше 0,8, не проверяя разряды. Это неверно: 0,125 действительно меньше 0,8, но вывод должен опираться на цифры разрядов, а не на длину записи. Для самопроверки допиши нули и сравни числа по порядку.

Ещё одна ошибка — думать, что ноль справа изменяет число. Нули в конце дробной части не увеличивают и не уменьшают её значение, поэтому 2,5 = 2,50. Иногда ученики принимают дополнительную цифру за новую долю и из-за этого меняют порядок чисел. Проверь себя, прочитав дробь как десятые и сотые: пять десятых равны пятидесяти сотым.

Если сравнивать только дробные части, не проверив целые, можно решить, что 8,1 меньше 12,3, потому что 0,1 меньше 0,3. Но 12 целых больше 8 целых, значит, 12,3 больше 8,1 независимо от дробных частей. Перед сравнением всегда сначала сопоставляй целые части — это быстрая проверка от такой ошибки.

Знак тоже можно поставить неверно, даже если большая дробь определена правильно. Например, если 4,7 больше 4,2, запись 4,7 < 4,2 будет ошибочной. Помни: раскрытая сторона знака обращена к большему числу, а остриё — к меньшему; прочитай получившуюся запись вслух, чтобы себя проверить.

Связь с другими темами

Для сравнения дробей пригодятся знания о разрядном составе числа и значении цифры в каждом разряде. Полезно также представлять обыкновенные дроби со знаменателями 10, 100 и 1000: они помогают понять, что означают десятые, сотые и тысячные. Эти умения понадобятся дальше при округлении десятичных дробей, действиях с ними, решении неравенств и размещении чисел на координатной прямой.

В повседневной жизни сравнение помогает выбрать более низкую цену, определить большую длину или расстояние, сопоставить результаты измерений и вычислений. Например, чтобы понять, какая из двух покупок дешевле, достаточно правильно сравнить суммы, записанные десятичными дробями. Тот же способ работает с массой, временем и другими величинами.

Что запомнить

• Сначала сравнивают целые части десятичных дробей.
• Если целые части равны, сравнивают цифры после запятой слева направо.
• Первая отличающаяся цифра определяет результат сравнения.
• Количество знаков после запятой само по себе не определяет величину дроби.
• Справа к десятичной дроби можно приписывать нули, не изменяя её значения.
• Равные десятичные дроби обозначают знаком =.
• Результат сравнения записывают знаками > или <.