4.2 Перевод обыкновенных дробей в десятичные

Определения и обозначения

Десятичная дробь — это запись дроби со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее. Цифра сразу после запятой показывает десятые, следующая — сотые, затем идут тысячные. Например, в числе 0,37 цифра 3 означает 3 десятых, а 7 — 7 сотых. Такое понимание разрядов помогает верно записывать дробь и не терять её значение.

Конечная десятичная дробь — десятичная запись, в которой после запятой стоит конечное число цифр. Например, 0,75 — конечная дробь: после цифры 5 запись заканчивается. Это понятие нужно, чтобы отличать дроби, которые можно записать без продолжения цифр, от тех, у которых цифры идут бесконечно.

Периодическая десятичная дробь — бесконечная десятичная запись, в которой одна или несколько цифр повторяются. Повторяющуюся часть называют периодом и обозначают круглыми скобками: 0,333… = 0,(3). Понятие периода позволяет коротко записать бесконечную последовательность цифр и увидеть её закономерность.

Перевод обыкновенной дроби в десятичную — получение десятичной записи этой дроби умножением числителя и знаменателя на одно и то же число или делением числителя на знаменатель. Например, 3/4 можно превратить в дробь со знаменателем 100, а затем записать как 0,75. Это нужно, чтобы сравнивать обыкновенные дроби с десятичными и удобнее выполнять некоторые вычисления.

Как это устроено

Если знаменатель можно заменить на 10, 100, 1000 и так далее, дробь становится удобной для десятичной записи. Для этого числитель и знаменатель умножают на одно и то же число: дробь фактически умножается на 1, поэтому её значение сохраняется. Например, у дроби 3/4 знаменатель 4 можно умножить на 25 и получить 100; числитель тоже умножится на 25. Знаменатель 100 подсказывает, что числитель показывает количество сотых.

Иногда нужную степень десяти получить неудобно, поэтому дробь переводят делением числителя на знаменатель. Это следует из смысла дроби: 5/12 означает 5 разделить на 12. Если деление не выполняется нацело, после запятой можно приписывать нули к делимому и продолжать вычисление. Каждая найденная цифра показывает очередной разряд десятичной дроби.

При делении важны остатки: каждый остаток показывает, сколько ещё не разделено и какой будет следующая цифра. Если остаток стал равен нулю, дальше делить нечего, поэтому десятичная запись заканчивается. Например, при делении 3 на 4 сначала получается 0,75, а остаток становится нулевым. Значит, 3/4 — конечная десятичная дробь.

Если остаток повторяется, деление снова проходит те же шаги и даёт те же цифры после запятой. Например, у 5/12 после появления остатка 2 снова получается цифра 6 и остаток 8, а затем этот ход повторяется. Поэтому выходит 0,41666…; повторяющаяся цифра 6 — период. Остановить деление можно, когда остаток повторился и стало ясно, что дальше последовательность будет такой же.

Есть и способ заранее предсказать, будет ли запись конечной: сначала сократи дробь, а затем посмотри на её знаменатель. Если в нём остались только множители 2 и 5, его можно домножить до степени десяти, потому что 10 = 2 · 5, 100 = 2² · 5² и так далее. Если в знаменателе есть другой простой множитель, например 3, получить степень десяти не удастся, поэтому запись будет периодической. Это правило применяют именно к дроби после сокращения.

Как перевести обыкновенную дробь в десятичную

Сначала проверь знаменатель и попробуй получить степень десяти: этот путь часто короче деления. Если это не получается, дели числитель на знаменатель и следи за остатками. Повтор остатка помогает определить период, а нулевой остаток — понять, что запись закончилась.

Разбор задач

Переведите дробь 3/4 в десятичную.

Знаменатель 4 удобно превратить в 100: число 100 делится на 4 без остатка. Чтобы дробь осталась равной исходной, нужно увеличить не только знаменатель, но и числитель. После этого по знаменателю можно определить, сколько цифр будет после запятой.

1. Найдём число, на которое нужно умножить 4, чтобы получить 100: это 25.
2. Умножим числитель и знаменатель на 25: 3/4 = (3 · 25)/(4 · 25) = 75/100.
3. Запишем 75 сотых десятичной дробью: 75/100 = 0,75.

Ответ: 3/4 = 0,75. Две цифры после запятой нужны потому, что знаменатель полученной дроби равен 100 и числитель показывает сотые.

Переведите дробь 5/12 в десятичную.

Здесь удобнее делить 5 на 12: знаменатель 12 нельзя домножить до степени десяти целым числом. Поскольку 5 меньше 12, целая часть ответа равна нулю, а деление продолжаем после запятой. Следим за остатками: их повторение покажет, какие цифры станут периодом.

1. Запишем начало деления: 5 : 12 = 0,…; приписываем к 5 ноль и делим 50 на 12. Получаем 4, остаток 2.
2. К остатку 2 приписываем ноль: 20 : 12 = 1, остаток 8. Теперь запись начинается так: 0,41…
3. Приписываем ноль к 8: 80 : 12 = 6, остаток 8. Остаток 8 повторился, значит, дальше снова будут цифры 6.
4. Записываем результат с периодом: 5/12 = 0,41666… = 0,41(6).

Ответ: 5/12 = 0,41(6). Цифры 4 и 1 не повторяются, а период начинается с цифры 6, которая стоит в скобках.

Переведите дробь 7/30 в десятичную и запишите результат с периодом.

Разделим 7 на 30: поскольку числитель меньше знаменателя, перед запятой будет 0. Далее определяем цифры по очереди, каждый раз умножая остаток на 10 и деля полученное число на 30. Повтор остатка покажет, с какого места начинается период.

1. Приписываем к 7 ноль: 70 : 30 = 2, остаток 10. Первая цифра после запятой — 2.
2. К остатку 10 приписываем ноль: 100 : 30 = 3, остаток 10. Следующая цифра — 3, и остаток 10 повторился.
3. Так как остаток повторился, дальнейшие цифры снова будут равны 3. Получаем запись 0,2333…
4. Цифра 2 стоит перед повторяющейся частью, а цифра 3 образует период: 7/30 = 0,2(3).

Ответ: 7/30 = 0,2(3). Скобки охватывают только цифру 3, потому что именно она повторяется, а цифра 2 появляется один раз.

Типичные ошибки

Первая ошибка — умножить только знаменатель, забыв о числителе. Так поступают, когда хотят быстро получить 10 или 100, но в результате меняют значение дроби. Проверь себя: числитель и знаменатель должны быть умножены на одно и то же число, например 3/4 = 75/100, а не 3/100.

Вторая ошибка — неверно поставить запятую и не учесть разряды. Её допускают, если смотрят только на числитель и забывают, что знаменатель 100 задаёт сотые. Проверь результат словами: 75/100 — это 75 сотых, то есть 0,75, а не 0,075 и не 7,5.

Третья ошибка — объявить дробь конечной, увидев несколько цифр после запятой. При этом деление могло ещё продолжаться, а остаток не стал нулём. Проверь последний остаток: пока он не равен нулю и не повторился, делать вывод о конечной записи рано.

Четвёртая ошибка — неправильно поставить начало или границы периода. Это случается, если период выбирают на глаз, не сверяя остатки при делении. Проверь, с какого остатка начался повтор: цифры, полученные после его повторения, снова пойдут в том же порядке; в записи скобки должны охватить только повторяющуюся часть.

Связь с другими темами

Для перевода умножением нужно уметь сокращать дроби и получать равные дроби: числитель и знаменатель умножают на одно число. Деление с остатком помогает находить цифры после запятой, а знание разрядов — правильно их записывать. Перевод дробей пригодится при сравнении обыкновенных и десятичных дробей, а также при вычислениях с десятичными дробями.

Что запомнить

• Умножение числителя и знаменателя на одно и то же число не меняет дробь.
• Знаменатель 10, 100 или 1000 позволяет сразу записать десятичную дробь.
• Обыкновенную дробь можно перевести в десятичную делением числителя на знаменатель.
• Если остаток при делении стал равен нулю, запись конечна.
• Повторяющиеся остатки приводят к повторяющимся цифрам после запятой.
• У конечной дроби после сокращения знаменатель содержит только множители 2 и 5.