"Математика", Зубарева И.И., Мордкович А.Г.
Десятичные дроби – это числа, у которых есть целая часть и дробная, разделенные запятой. Иногда нужно умножать или делить эти числа на 10, 100, 1000 и так далее. В этом параграфе мы научимся быстро и легко выполнять эти действия, просто сдвигая запятую! Это очень полезно для решения задач и работы с разными величинами, например, когда нужно перевести метры в километры или граммы в килограммы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Десятичная дробь – это особый вид дробей, у которых знаменатель выражается степенью числа 10. Например, 0,5 – это дробь, которую можно записать как 5/10. Такие дроби очень удобны, потому что с ними легко работать. Они используются во многих областях жизни, например, при измерении длины, веса или времени.
Степень числа 10 показывает, сколько нулей нужно написать после единицы. Например, 10² (10 во второй степени) означает 10 * 10 = 100 (два нуля). Степень числа 10 помогает нам быстро понять, на сколько сдвигать запятую при умножении или делении.
Сдвиг запятой – это перемещение запятой вправо или влево при умножении или делении на степени числа 10. Это самый важный прием, который нужно запомнить. Именно он позволяет быстро и легко выполнять эти действия.
Умножение на 10, 100, 1000 и т.д. делает число больше. Представьте, что вы добавляете нули в конце числа. Например, 2,5 * 10 = 25. Запятая сдвигается вправо, потому что мы увеличиваем значение числа в 10 раз. Сдвиг вправо означает увеличение значения.
Деление на 10, 100, 1000 и т.д. делает число меньше. Представьте, что вы отрезаете нули в конце числа или делите его на 10. Например, 2,5 / 10 = 0,25. Запятая сдвигается влево, потому что мы уменьшаем значение числа в 10 раз. Сдвиг влево означает уменьшение значения.
Добавление нулей после запятой не меняет значение десятичной дроби. Например, 2,5 и 2,50 – это одно и то же число. Нули после запятой помогают нам лучше видеть значение дроби, но они не влияют на результат вычислений. Это похоже на запись 5 и 500: оба числа обозначают одно и то же количество.
Правило сдвига запятой работает с любыми степенями числа 10. Например, если вы умножаете на 1000, вы сдвигаете запятую на три знака вправо. Если вы делите на 100, вы сдвигаете запятую на два знака влево. Чтобы не запутаться, нужно просто помнить, сколько нулей в числе, на которое вы умножаете или делите.
Что делать, если при смещении запятой недостаточно знаков? Например, нужно разделить 2,5 на 1000. Сдвигая запятую на три знака влево, мы получаем 0,0025. Если бы у нас было число 2, и мы хотели разделить его на 100, мы бы добавили ноль в целую часть: 0,02.
| Действие | Умножение на 10 | Умножение на 100 | Деление на 10 | Деление на 100 |
|---|---|---|---|---|
| Пример | 2,5 * 10 = 25 | 2,5 * 100 = 250 | 2,5 / 10 = 0,25 | 2,5 / 100 = 0,025 |
| Сдвиг запятой | Вправо на 1 знак | Вправо на 2 знака | Влево на 1 знак | Влево на 2 знака |
| Добавление нулей | Не требуется | Не требуется | При необходимости | При необходимости |
Эта таблица поможет вам быстро и легко выполнить умножение и деление десятичных дробей на степени числа 10. Просто найдите нужное действие и посмотрите, как меняется запятая.
Задача 1: Вычислите: 12,3 * 1000
Задача 2: Вычислите: 45,6 / 10
Задача 3: Вычислите: 5,78 / 1000
Забывают о необходимости сдвигать запятую – это самая распространённая ошибка. Ученики просто умножают или делят число, как будто запятой там нет. Чтобы избежать ошибки, всегда напоминайте себе о правиле сдвига запятой.
Сдвигают запятую в неправильном направлении – многие путают умножение и деление. Важно помнить: при умножении запятая сдвигается вправо, при делении – влево. Чтобы не запутаться, представьте себе, что вы увеличиваете или уменьшаете число.
Добавляют или убирают цифры в числе – вместо того чтобы сдвигать запятую, некоторые ученики начинают добавлять или убирать цифры. Это неправильно! При умножении и делении на степени числа 10 нужно только сдвигать запятую.
Не добавляют нули – когда при сдвиге запятой не хватает знаков, некоторые ученики забывают добавить нули в целую или дробную часть числа. Это приводит к неверному ответу. Всегда следите за тем, чтобы в числе было достаточно знаков после запятой.
Понимание десятичных дробей и их представления – знание того, что такое десятичная дробь и как она может быть представлена в виде обыкновенной дроби, поможет вам лучше понять правила умножения и деления.
Практические применения умножения и деления – эти правила применяются во многих ситуациях из повседневной жизни, например, при переводе мер (метры в километры, граммы в килограммы) или при вычислении стоимости покупки.
Что делать, если при делении на 1000 в числе меньше трех знаков после запятой?
Если при делении на 1000 в числе меньше трех знаков после запятой, просто добавьте нули в дробную часть до тех пор, пока их не станет три. Например, если у вас число 2,5 и вы делите его на 1000, то получится 0,0025.
Можно ли умножать или делить десятичные дроби на степени числа 10 в уме?
Да, часто умножение и деление на 10, 100, 1000 и т.д. можно выполнять в уме, особенно если число небольшое. Просто сдвиньте запятую вправо (при умножении) или влево (при делении) на соответствующее количество знаков.
Чем отличается умножение на 10 от умножения на 100?
Умножение на 10 сдвигает запятую на один знак вправо, а умножение на 100 – на два знака. Разница в количестве сдвигов: чем больше нолей в числе, на которое умножаем, тем дальше сдвигаем запятую.
Если число целое, то как его умножить или разделить на 10, 100, 1000?
Если число целое, то при умножении на 10, 100, 1000 и т.д. можно просто добавить нужное количество нулей в конце числа. При делении нужно добавить запятую и сдвинуть её влево на нужное количество знаков.
А что если нужно умножить или разделить на число, которое не является степенью 10, например, на 5?
Если нужно умножить или разделить на число, которое не является степенью 10 (например, на 5), то нужно использовать обычные правила умножения или деления столбиком, как мы делали раньше. Правило сдвига запятой работает только для степеней числа 10.
§ 39. Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т. д
