"Математика (в 2 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Деление десятичных дробей помогает узнать, сколько раз одна величина содержится в другой: например, сколько порций заданной массы получится из имеющегося запаса. Дробь можно делить на натуральное число по знакомому правилу, а деление на десятичную дробь сначала преобразуют в более привычное деление на натуральное число. Для этого делимое и делитель умножают на одно и то же число. Затем результат проверяют умножением и оценивают по смыслу задачи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Деление десятичной дроби на натуральное число — это деление, в котором делитель является натуральным числом, например 8,4 : 4. Действуют похоже на деление натуральных чисел, но учитывают запятую в делимом. Это правило позволяет разделить десятичную величину на равные части.
Деление на десятичную дробь — действие, в котором делитель записан десятичной дробью, например 7,2 : 0,3. Сначала делитель преобразуют в натуральное число, одновременно изменяя делимое. Так сложное на вид действие можно выполнить знакомым способом.
Равносильное преобразование частного — изменение делимого и делителя, при котором частное остаётся тем же. Если оба числа умножить на одно и то же число, отличное от нуля, ответ не изменится. Это свойство нужно, чтобы убрать запятую из делителя, не меняя результата деления.
Деление десятичных дробей — нахождение частного, когда делимым, делителем или обоими числами являются десятичные дроби. Его сводят к делению на натуральное число: запятые обоих чисел сдвигают одинаково. После этого применяют обычное деление и проверяют результат.
При делении десятичной дроби на натуральное число сначала делят целую часть, как при делении натуральных чисел. Когда эта часть закончилась, в делимом переходят через запятую к десятичной части, и в частном на этом месте тоже ставят запятую. Так сохраняются разряды: цифры после запятой в частном обозначают части единицы, а не целые единицы.
Проверить деление можно умножением: делитель, умноженный на частное, должен дать делимое. Это следует из смысла деления: если делимое разделили на равные группы, то умножение количества групп на размер каждой группы возвращает исходное количество. Проверка помогает заметить ошибку в вычислениях или в положении запятой. Если результат приблизительный, произведение также будет близко к делимому.
Чтобы разделить на десятичную дробь, умножают делимое и делитель на 10, 100 или другую степень 10 — такое число получают, умножая 10 само на себя. Выбирают степень так, чтобы в делителе исчезла запятая. Например, при делителе 0,3 достаточно умножить на 10, а при делителе 0,45 — на 100. Тогда деление становится удобнее выполнять.
Почему можно изменять оба числа? Если разделить оба на одинаковое количество одинаковых долей или, наоборот, увеличить оба числа в одинаковое число раз, отношение между ними останется прежним. Поэтому умножение делимого и делителя на одну и ту же степень 10 не меняет частное. Запятую нельзя сдвигать лишь в одном числе или на разное число разрядов: тогда изменится соотношение чисел и получится другое частное.
Иногда после деления очередных цифр остаётся ненулевой остаток. Тогда к делимому приписывают ноль и продолжают деление: это равносильно тому, что к десятичной дроби приписали ноль, не изменив её значения. В частном получают следующие цифры после запятой. Можно продолжать до нулевого остатка, а если ответ нужен с ограниченной точностью — остановиться на нужном разряде.
| Случай | Что сделать с делителем | Как выполнить деление | На что обратить внимание |
|---|---|---|---|
| Десятичная дробь делится на натуральное число | Делитель уже натуральный | Делить по разрядам, как натуральные числа; в частном поставить запятую при переходе через запятую делимого | Запятая в частном должна соответствовать границе между целой и дробной частями |
| Десятичная дробь делится на десятичную дробь | Умножить делитель на степень 10 до натурального числа | Умножить делимое на ту же степень 10, затем разделить на полученный натуральный делитель | Оба числа преобразуются одинаково |
| В делителе одна цифра после запятой | Умножить делитель на 10 | Сдвинуть запятые в обоих числах на один разряд вправо и выполнить деление | Делимое тоже умножают на 10 |
| В делителе несколько цифр после запятой | Умножить на 10, 100 или большую степень 10, чтобы убрать запятую | Сдвинуть запятые в обоих числах на одинаковое число разрядов и разделить | Число разрядов выбирают по делителю |
Сначала найди в таблице свой случай и посмотри, нужно ли преобразовывать делитель. Затем проверь, что при сдвиге его запятой запятая делимого сдвинулась на такое же число разрядов. После преобразования дели обычным способом и проверь частное умножением.
Задача 1. Вычисли 8,4 : 4. Делитель уже натуральный, поэтому преобразовывать числа не нужно. Разделим целую часть, затем продолжим действие с десятичной частью. Запятую в частном поставим при переходе от целой части делимого к дробной.
Ответ: 2,1. Он меньше 8,4, что разумно: число разделили на 4 равные части.
Задача 2. Вычисли 7,2 : 0,3. Делитель 0,3 не является натуральным числом. Чтобы убрать в нём запятую, умножим его на 10; по свойству частного делимое тоже нужно умножить на 10. После преобразования останется знакомое деление натуральных чисел.
Ответ: 24. Это значит, что в 7,2 содержится двадцать четыре части по 0,3.
Задача 3. Для одной бутылки нужно 0,45 л сока. Сколько бутылок можно наполнить из 6,3 л сока? Нужно узнать, сколько раз по 0,45 л содержится в 6,3 л. Поэтому составляем деление 6,3 : 0,45. В делителе две цифры после запятой, значит, умножаем оба числа на 100.
Ответ: 14 бутылок. Единица ответа — бутылки, потому что задача спрашивает количество бутылок, а не объём сока.
Переносят запятую только в делителе, забывая про делимое. Так меняется отношение между числами, поэтому и частное становится другим. Ошибку часто допускают, потому что стремятся просто убрать запятую. Проверь себя: оба числа должны быть умножены на одну и ту же степень 10.
Сдвигают запятые в делимом и делителе на разное число разрядов. В таком случае равносильное преобразование не выполнено, даже если делитель стал натуральным. Перед вычислением посчитай цифры после запятой в делителе и проверь, что запятая делимого сдвинулась ровно столько же.
Ставят запятую в частном до того, как закончено деление целой части. Тогда разряды частного смещаются, и ответ может оказаться в десять или сто раз больше либо меньше нужного. Эту ошибку допускают, ориентируясь только на запятую в записи делимого. Сверься с ходом деления: запятая в частном появляется при переходе к дробной части делимого.
Останавливаются, когда остаток не равен нулю, хотя нужно получить точный или более точный ответ. Возможно, кажется, что после последней цифры делимого вычисления закончены. Припиши к делимому ноль и продолжи деление, если нужна большая точность; затем проверь частное умножением и учти требование задачи.
Перед этой темой нужно уметь делить натуральные числа и умножать или делить десятичные дроби на 10, 100 и другие степени 10. Деление опирается на смысл частного: оно показывает, сколько раз делитель содержится в делимом или на сколько равных частей разделили величину. Проверка умножением помогает убедиться в результате. Эти действия нужны в задачах на цену, массу, длину и объём, а также при нахождении значения выражений.
Почему при делении на десятичную дробь можно передвигать запятые?
Потому что частное не изменится, если умножить и делимое, и делитель на одно и то же число, отличное от нуля. Умножение на 10, 100 и другие степени 10 передвигает запятую вправо. Так делитель можно превратить в натуральное число.
На сколько разрядов нужно сдвигать запятую?
Сдвигай запятые на столько разрядов вправо, сколько цифр стоит после запятой в делителе. Например, в делителе 0,45 две цифры после запятой, поэтому оба числа умножают на 100. После преобразования делитель должен стать натуральным числом.
Нужно ли сдвигать запятую в делимом, если сдвигаем её в делителе?
Да, запятую в делимом сдвигают на столько же разрядов, что и в делителе. Иначе числа умножатся на разные величины, и частное изменится. Например, 7,2 : 0,3 превращают в 72 : 3, а не в 7,2 : 3.
Что делать, если деление не заканчивается?
Если делимый уже записан без запятой, а остаток ещё есть, можно приписать к нему ноль и продолжить деление. При этом в частном продолжают записывать цифры после запятой. Остановись, когда остаток станет равен нулю или будет достигнута нужная точность.
Как проверить результат деления десятичных дробей?
Умножь делитель на полученное частное: результат должен совпасть с делимым. Например, после вычисления 7,2 : 0,3 = 24 проверка выглядит так: 0,3 · 24 = 7,2. Если числа не совпали, проверь преобразование и вычисления.
4. Деление десятичных дробей
