"Математика (в 2 частях)", Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.
Умножение десятичных дробей помогает находить величину, которая в несколько раз больше или меньше другой. Чтобы вычислить произведение, сначала умножают числа так, будто запятых нет, а затем ставят запятую по общему числу десятичных знаков в обоих множителях. Правило основано на том, что десятичные дроби можно записать обыкновенными дробями со знаменателями 10, 100, 1000 и другими степенями десяти. Оценка результата помогает проверить вычисление.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Десятичная дробь — это запись дроби со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее. Цифры после запятой показывают части единицы: первая — десятые, вторая — сотые, третья — тысячные. Например, в числе 2,35 цифра 3 означает три десятых, а 5 — пять сотых. Такое обозначение удобно для измерений и вычислений с величинами, которые не составляют целое число.
Умножение десятичных дробей — это действие, которое помогает найти число, увеличивающее или уменьшающее величину в заданное число раз. Например, если одна лента в 2,5 раза длиннее другой, умножение позволяет найти её длину. При умножении на число больше 1 результат обычно увеличивается, а при умножении на число между 0 и 1 — уменьшается. Это действие нужно в задачах о длине, площади, стоимости и других величинах.
Произведение десятичных дробей — результат умножения двух десятичных дробей. В записи 1,2 · 0,5 множители — это 1,2 и 0,5, а произведение равно 0,6. Слово «произведение» может обозначать и результат, и выражение, которое нужно вычислить. Это помогает коротко описывать вычисления в примерах и задачах.
Разряды после запятой — это места цифр, указывающие, сколько в числе десятых, сотых, тысячных и более мелких долей единицы. Например, в числе 0,407 цифра 4 стоит в разряде десятых, 0 — сотых, а 7 — тысячных. Разряд показывает значение цифры, а не только её место на бумаге. Понимание разрядов помогает правильно поставить запятую после умножения.
Сначала можно умножить числа без запятых, потому что десятичную дробь можно представить обыкновенной дробью со знаменателем — степенью десяти. Например, 1,2 = 12/10, а 0,3 = 3/10. Тогда умножение дробей превращается в умножение числителей и знаменателей: 12 · 3 делим на 10 · 10. Поэтому вычисление целыми числами выполняют отдельно, а влияние запятых учитывают после него.
Количество цифр после запятой в произведении равно сумме таких цифр в множителях. В записи 1,2 · 0,35 у первого множителя один знак после запятой, а у второго — два, всего три. Если временно убрать запятые, получится 12 · 35 = 420, но исходное произведение содержит деление на 10 и на 100, то есть на 1000. Поэтому результат записывается как 0,420, или 0,42.
Причину правила видно и на другом примере: 2,4 = 24/10, а 1,25 = 125/100. При умножении получаем 24 · 125 в числителе и 10 · 100 = 1000 в знаменателе. Значит, сначала вычисляем 24 · 125 = 3000, затем делим на 1000 и получаем 3. В знаменателе три нуля, поэтому в записи произведения нужно отделить три десятичных разряда.
Умножение на 10, 100 и 1000 изменяет разряд каждой цифры: она становится соответственно в 10, 100 или 1000 раз больше. Поэтому запятая перемещается вправо на один, два или три разряда. Например, 3,47 · 100 = 347; если справа не хватает цифр, их заменяют нулями: 2,5 · 100 = 250. При делении на эти числа запятая, наоборот, сдвигалась бы влево.
Оценка результата помогает проверить, разумно ли поставлена запятая. Для этого округли множители до удобных чисел и прикинь произведение: например, 3,06 · 2,5 должно быть близко к 3 · 2,5 = 7,5. Ответ 76 или 0,76 сильно отличается от такой оценки, значит, вероятна ошибка в записи. Оценка не заменяет точное вычисление, но быстро обнаруживает ошибку в порядке величины.
| Случай | Что сделать сначала | Как поставить запятую | Пример |
|---|---|---|---|
| Десятичная дробь умножается на натуральное число | Умножить без запятой | Оставить столько знаков, сколько было в дроби | 2,4 · 3 = 7,2 |
| Две десятичные дроби перемножаются как натуральные числа | Перемножить числа без запятых | Отделить знаки по сумме разрядов множителей | 1,25 · 0,4 = 0,500 |
| Один множитель равен 10, 100 или 1000 | Определить число нулей у множителя | Перенести запятую вправо на столько разрядов | 3,47 · 100 = 347 |
| В произведении не хватает цифр слева от запятой | Выполнить умножение без запятых | Дополнить запись нулями слева до нужного числа знаков | 0,2 · 0,3 = 0,06 |
| В произведении появляются нули в конце десятичной записи | Поставить запятую по общему числу знаков | Нули в конце дробной части можно убрать | 1,25 · 0,4 = 0,500 = 0,5 |
Найди в таблице случай, который похож на твоё задание, и сначала выполни умножение целых чисел. Затем поставь запятую, учитывая десятичные разряды, или перенеси её, если множитель равен разрядной единице. В конце проверь, не нужны ли нули в записи и подходит ли ответ по величине.
Задача. Вычислить 2,4 · 3. Здесь один множитель — десятичная дробь, а второй — натуральное число. В числе 2,4 один знак после запятой, поэтому после умножения нужно сохранить один десятичный разряд. Сначала можно считать так, будто запятой нет.
Ответ: 7,2.
Задача. Вычислить 1,25 · 0,4. У первого множителя два знака после запятой, у второго — один, значит, в произведении нужно отделить три цифры. Пока не учитываем запятые и умножаем 125 на 4. Затем проверим, не получился ли лишний ноль в конце десятичной записи.
Ответ: 0,5.
Задача. Прямоугольная площадка имеет длину 3,06 м и ширину 2,5 м. Чтобы найти площадь прямоугольника, нужно перемножить длину и ширину; площадь будет выражена в квадратных метрах. В произведении у множителей всего три десятичных знака: два в числе 3,06 и один в числе 2,5. Перед вычислением оценим результат: он должен быть примерно равен 3 · 2,5, то есть 7,5 м².
Ответ: площадь площадки равна 7,65 м².
Иногда запятую ставят, считая цифры только в одном множителе. Так происходит, когда забывают, что десятичные части обоих множителей дают общий разрядный результат. Сложи количество знаков после запятой в первом и втором множителях, а затем сравни сумму с числом знаков в ответе. Например, у 1,25 · 0,4 сумма равна трём.
При умножении на 10 или 100 запятую могут сдвинуть влево, перепутав умножение с делением. Ошибка возникает потому, что в обоих действиях меняется положение запятой, но направления противоположны. Запомни: умножение на разрядную единицу увеличивает число, поэтому запятая движется вправо. Проверь себя оценкой: 2,5 · 10 должно быть больше 2,5.
Если цифр в произведении недостаточно, чтобы отделить нужное число знаков, некоторые забывают дописать нули слева. Например, после 2 · 3 получается 6, но для 0,2 · 0,3 нужны два знака после запятой: ответ 0,06. Сосчитай требуемые разряды и проверь, что запятая не оказалась перед цифрой 6 без нуля. Нули слева в такой записи необходимы для правильного значения числа.
Нули в конце результата иногда считают обязательными или удаляют ноль внутри числа. В первом случае запись становится длиннее без изменения значения, а во втором, например при превращении 2,05 в 2,5, само число меняется. Допустимо убрать только нули справа в конце десятичной части: 2,50 = 2,5. Для проверки сравни разряды: ноль между цифрами сохраняет значение сотых и убирать его нельзя.
Для умножения десятичных дробей пригодятся разряды десятичной записи, умножение натуральных чисел и представление десятичной дроби обыкновенной дробью. Разряды помогают правильно поставить запятую, а умножение целых чисел — выполнить основную часть вычисления. Такие произведения используются при нахождении площадей, объёмов, расстояний и стоимости, если величины заданы десятичными числами. Позже этот способ понадобится в уравнениях, задачах на проценты и пропорции.
Почему при умножении десятичных дробей запятая переносится именно на сумму разрядов?
Каждый знак после запятой означает деление на 10, 100, 1000 и так далее. При умножении знаменатели перемножаются, поэтому общее число десятичных разрядов складывается. Например, десятые умножить на сотые дают десятитысячные.
Что делать, если в произведении не хватает цифр для отделения десятичной части?
Слева от полученных цифр допиши столько нулей, сколько нужно, чтобы отделить запятой требуемое число знаков. Например, 0,2 · 0,3: сначала получаем 6, а после отделения двух знаков записываем 0,06.
Можно ли убрать нули в конце результата?
Да, нули в конце десятичной части можно не писать: числа 2,500 и 2,5 равны. Но нельзя убирать нули внутри числа, например в 2,05, потому что тогда изменится его значение.
Как быстро умножить десятичную дробь на 10, 100 или 1000?
Перенеси запятую вправо на столько разрядов, сколько нулей у множителя: на один при умножении на 10, на два — на 100, на три — на 1000. Если цифр не хватает, допиши нули справа.
Как проверить, правильно ли поставлена запятая в ответе?
Округли множители до удобных чисел и примерно оцени произведение. Если, например, умножаются числа около 3 и 2, ответ должен быть около 6, а не около 60 или 0,6. Так можно заметить неверное положение запятой.
3. Умножение десятичных дробей
