2. Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д

Определения и обозначения

Десятичная дробь — это число, у которого целая и дробная части разделены запятой, например 3,407. Цифры справа от запятой показывают части единицы: 4 — десятые, 0 — сотые, 7 — тысячные. Это помогает понять, в каком разряде находится каждая цифра и как меняется её значение при вычислениях.

Разрядная единица — это 10, 100, 1000 и другие числа, состоящие из единицы и нулей. При переходе от одного числа к следующему в таком ряду число нулей увеличивается на один, а разница в разрядах становится на один шаг больше. Например, умножение на 100 означает переход на два разряда, а деление на 100 — обратный переход.

Умножение десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т. д. — действие, при котором цифры числа переходят в более крупные разряды. В записи это обычно выглядит как перемещение запятой вправо на число знаков, равное числу нулей. Правило позволяет быстро вычислять произведение без письменного умножения.

Деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т. д. — действие, при котором цифры переходят в более мелкие разряды. Поэтому запятая перемещается влево на столько знаков, сколько нулей в делителе. Это правило удобно для быстрых вычислений и перевода величин в меньшие или большие единицы.

Как это устроено

Представим число 3,407 в разрядной таблице: 3 единицы, 4 десятых, 0 сотых и 7 тысячных. При умножении на 10 каждая единица заменяется десятью единицами следующего разряда: одна единица — это десять десятых, а одна десятая — десять сотых. Поэтому все цифры как будто переходят на один разряд влево, а запятая в записи сдвигается вправо: 3,407 · 10 = 34,07. Само число при этом становится в десять раз больше.

При умножении на 100 каждая цифра переходит на два разряда, а при умножении на 1000 — на три. Вместо того чтобы отдельно менять название каждого разряда, удобно сдвинуть запятую вправо на два или три знака: 3,407 · 100 = 340,7, а 3,407 · 1000 = 3407. Количество шагов совпадает с количеством нулей в множителе. Если запятая дошла до конца числа, в итоговой записи её не ставят.

Деление возвращает цифры в меньшие разряды, поэтому оно обратное умножению. При делении на 10 запятая движется влево на один знак, при делении на 100 — на два, при делении на 1000 — на три. Например, 3,407 : 100 = 0,03407: число стало в сто раз меньше, а каждая цифра заняла более мелкий разряд. Это также помогает проверить направление: при делении на число больше единицы результат должен уменьшиться.

Если при движении запятой влево цифр не хватает, перед числом дописывают нули: иначе нужные разряды не будут обозначены и значение получится неверным. Например, в числе 5,07 запятую при делении на 1000 нужно сдвинуть на три знака, но слева от неё есть только одна цифра. Записываем нули и получаем 0,00507. Нули здесь показывают пустые разряды, а не меняют правило деления.

При умножении запятая может переместиться за последнюю цифру. Тогда справа дописывают нули, чтобы выполнить все шаги: например, 4,6 · 100 = 460, поскольку запись 4,600 после переноса запятой превращается в 4600? Проверим по разрядам: 4,6 · 100 = 460. Если запятая после сдвига оказывается в конце, её убирают. Нули, оставшиеся в конце дробной части, можно отбросить, так как они не меняют значения числа.

Изменение записи десятичной дроби при умножении и делении на разрядную единицу

В каждой ячейке последней строки сначала указан результат умножения, затем деления. Пользуйся таблицей в таком порядке: найди столбец с нужным числом, выбери строку действия и передвинь запятую на указанное количество знаков. Если разрядов не хватает, допиши нули и проверь, соответствует ли результат действию.

Разбор задач

Задача 1. Вычисли: 4,6 · 10. Нужно умножить дробь на 10, значит, запятая перемещается вправо на один знак. Цифра 6 из разряда десятых переходит в разряд единиц, а 4 единицы становятся 4 десятками. Поэтому число увеличивается в десять раз.

1. В множителе 10 один ноль, значит, запятую двигаем на один знак.
2. Перемещаем запятую вправо: 4,6 становится 46.
3. Проверяем: 46 больше 4,6 в десять раз.

Ответ: 46.

Задача 2. Вычисли: 0,38 · 100 и 7,2 : 10. В первом выражении выполняется умножение на 100, поэтому запятая движется вправо на два знака. Во втором выражении число делят на 10, значит, запятая перемещается влево на один знак. Разные действия дают противоположные направления.

1. В 100 два нуля: 0,38 · 100 = 38.
2. В 10 один ноль: 7,2 : 10 = 0,72.
3. Проверяем: после умножения число стало больше, после деления — меньше.

Ответ: 38; 0,72.

Задача 3. Вычисли: 5,07 : 1000 и 0,006 · 100. В первом случае запятую нужно сдвинуть влево на три знака, но цифр слева не хватает. Поэтому дописываем нули перед числом. Во втором случае запятая перемещается вправо на два знака; если она окажется в конце, её не записываем.

1. В 1000 три нуля: 5,07 : 1000 = 0,00507.
2. В 100 два нуля: 0,006 · 100. Сдвигаем запятую вправо на два знака и получаем 0,6.
3. Проверяем: первое число стало меньше, а второе — больше.

Ответ: 0,00507; 0,6.

Типичные ошибки

Перемещают запятую в неверном направлении: влево при умножении или вправо при делении. Так бывает, если помнить только про движение, но не связывать его с тем, становится число больше или меньше. Проверь себя: умножение на 10 должно увеличить число, а деление на 10 — уменьшить.

При умножении или делении на 100 либо 1000 запятую двигают только на один знак. Обычно забывают, что количество шагов определяется числом нулей. Перед вычислением посчитай нули: у 100 их два, у 1000 — три, а затем проверь, что запятая прошла столько же разрядов.

При нехватке разрядов не дописывают нули и получают число неверной величины. Например, при делении маленького числа на 1000 важно сохранить нули перед первой значащей цифрой. Проверка проста: деление должно уменьшить число, а запись должна содержать все три шага перемещения.

Считают, что после умножения обязательно нужно оставить запятую и дробную часть. Если запятая переместилась за последнюю цифру, в конце целого числа её не пишут; конечные нули дробной части также можно убрать. Проверь запись по значению: например, 4,600 и 4,6 — одно и то же число.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно уметь читать десятичные дроби и различать разряды целой и дробной частей. Например, понимание того, где находятся десятые и сотые, помогает проследить, куда переходят цифры при умножении или делении. Без знания разрядов перемещение запятой выглядит как правило без объяснения.

Приём помогает выполнять устные вычисления и переводить величины, записанные десятичными дробями. Позже он пригодится при умножении и делении десятичных дробей на натуральные числа, а также в задачах с величинами. Навык видеть разряды помогает быстрее оценивать и проверять результаты.

Что запомнить

• При умножении на 10, 100, 1000 запятая перемещается вправо на 1, 2, 3 знака.
• При делении на 10, 100, 1000 запятая перемещается влево на 1, 2, 3 знака.
• Число знаков перемещения равно числу нулей в разрядной единице.
• Если при перемещении влево не хватает цифр, слева дописывают нули.
• При умножении нули можно дописать справа, если их не хватает для перемещения запятой.
• Нули в конце дробной части можно отбросить, не меняя значения числа.