5.1. Окружность и прямая

Определения и обозначения

Окружность — это множество точек плоскости, равноудалённых от одной точки. Общую точку называют центром окружности, обычно её обозначают буквой O, а одинаковое расстояние — радиусом r. Радиусом также называют отрезок от центра до любой точки окружности: например, OA = r.

Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку. Эту точку называют точкой касания и часто обозначают буквой A. Понятие касательной помогает узнать, когда прямая только касается окружности и не проходит внутрь неё.

Секущая — прямая, пересекающая окружность в двух точках. Значит, у секущей и окружности две общие точки, например A и B. По числу общих точек секущую отличают от касательной.

Радиус, проведённый в точку касания, — это отрезок от центра окружности до точки касания. Если окружность с центром O касается прямой в точке A, такой радиус обозначают OA. Его длина равна радиусу окружности и связана с расстоянием от центра до касательной.

Как это устроено

Положение прямой относительно окружности определяется расстоянием d от центра до прямой и радиусом r. Расстояние от точки до прямой измеряют по самому короткому отрезку, а такой отрезок всегда перпендикулярен прямой. Поэтому сравнение d и r показывает, может ли окружность достичь прямой своими точками.

Если d < r, прямая находится ближе к центру, чем окружность. На перпендикуляре от центра до прямой есть точка, удалённая от центра на d, а по обе стороны от неё прямая пересекает окружность на расстоянии r от центра. Поэтому появляются две общие точки, и прямая является секущей.

Если d = r, ближайшая к центру точка прямой находится ровно на расстоянии радиуса. Она лежит на окружности, а остальные точки прямой удалены от центра больше, чем r. Поэтому общей остаётся только одна точка — точка касания.

Если d > r, даже ближайшая точка прямой удалена от центра дальше радиуса. Отрезком длины r от центра нельзя дотянуться до этой прямой, поэтому ни одна её точка не лежит на окружности. Общих точек нет.

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Это объясняется тем, что перпендикуляр от центра к прямой является кратчайшим расстоянием, а при касании оно как раз равно радиусу. Поэтому, если известен радиус к точке касания, можно сразу найти расстояние от центра до касательной.

Положение прямой относительно окружности

Чтобы пользоваться таблицей, сначала определите расстояние d от центра до прямой и радиус r. Затем сравните эти числа и найдите соответствующую строку. Последний столбец сразу показывает положение прямой и число её общих точек с окружностью.

Разбор задач

Задача 1

Радиус окружности равен 5 см, а расстояние от её центра до прямой — 3 см. Нужно определить число общих точек прямой и окружности. Обозначим радиус через r = 5 см, а расстояние через d = 3 см.

1. Сравним числа: 3 см < 5 см, значит, d < r.
2. По правилу при d < r прямая проходит через внутреннюю область окружности.
3. Такая прямая пересекает окружность с двух сторон, поэтому общих точек две.

Ответ: прямая имеет с окружностью две общие точки. Следовательно, она является секущей.

Задача 2

Окружность с центром O касается прямой l в точке A, причём OA = 7 см. Требуется найти расстояние от O до прямой l. Отрезок OA соединяет центр с точкой касания.

1. Радиус OA перпендикулярен касательной l.
2. Расстояние от точки O до прямой l равно длине перпендикуляра, опущенного из O.
3. Значит, расстояние от O до l равно OA = 7 см.

Ответ: 7 см. Здесь отрезок OA одновременно является радиусом и кратчайшим расстоянием от центра до касательной.

Задача 3

Расстояние от центра окружности до прямой равно 6 см. Нужно определить положение прямой при радиусе 4 см, 6 см и 9 см. Во всех случаях d = 6 см, меняется только значение r.

1. При r = 4 см получаем d > r: 6 см > 4 см, поэтому общих точек нет.
2. При r = 6 см получаем d = r, поэтому прямая касается окружности в одной точке.
3. При r = 9 см получаем d < r: 6 см < 9 см, поэтому прямая пересекает окружность в двух точках.

Ответ: при радиусе 4 см прямая не пересекает окружность, при 6 см является касательной, при 9 см является секущей. Один и тот же отрезок d может соответствовать разным положениям прямой, если изменяется радиус.

Типичные ошибки

Ошибка: считать прямую касательной, если она просто близко проходит к окружности. Так бывает, когда положение определяют на глаз, не проверяя общие точки. Проверьте, есть ли ровно одна общая точка или сравните d и r.

Ошибка: путать расстояние от центра до прямой с расстоянием до произвольной точки на прямой. Произвольный отрезок может быть длиннее кратчайшего расстояния. Для проверки найдите отрезок, перпендикулярный прямой.

Ошибка: утверждать, что радиус перпендикулярен любой прямой, проходящей через точку окружности. Это свойство относится только к касательной в данной точке. Убедитесь, что прямая имеет с окружностью ровно одну общую точку.

Ошибка: менять местами случаи d < r и d > r. При меньшем расстоянии прямая проходит через окружность и пересекает её в двух точках, а при большем не достаёт до окружности. Сначала выпишите значения d и r, а затем поставьте знак сравнения.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно знать, что такое окружность, центр и радиус, а также понимать смысл перпендикуляра и расстояния от точки до прямой. Эти понятия позволяют правильно находить величину d и сравнивать её с r.

Свойство радиуса и касательной пригодится в геометрических задачах. С его помощью находят расстояния, строят касательные к окружности и обосновывают расположение прямых относительно окружности.

Что запомнить

• Сравнивают расстояние от центра окружности до прямой с радиусом.
• При d < r прямая пересекает окружность в двух точках.
• При d = r прямая касается окружности.
• При d > r прямая не имеет с окружностью общих точек.
• Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.