5.2. Две окружности на плоскости

Определения и обозначения

Расстояние между центрами двух окружностей — длина отрезка, соединяющего их центры. Обозначим это расстояние буквой d. Оно показывает, насколько далеко расположены центры друг от друга, поэтому по нему удобно сравнивать положение окружностей.

Пересекающиеся окружности — это окружности, имеющие две общие точки. Общая точка принадлежит сразу обеим окружностям. По наличию двух таких точек можно отличить пересечение от касания.

Касающиеся окружности имеют одну общую точку. При внешнем касании окружности находятся снаружи друг друга, а при внутреннем одна окружность расположена внутри другой. Такое различие помогает выбрать нужное условие для вычислений.

Не пересекающиеся окружности не имеют общих точек. Одна окружность может находиться вне другой, либо меньшая окружность может быть целиком внутри большей. В обоих случаях границы окружностей не встречаются.

Как это устроено

Положение двух окружностей определяется расстоянием между центрами d и радиусами R и r. Сумма R + r показывает самый большой возможный путь от одного центра до точки на другой окружности, если двигаться через оба центра. Разность |R − r| показывает, насколько одна окружность должна быть сдвинута от центра другой, чтобы оказаться внутри неё.

Если d больше суммы радиусов, окружности расположены отдельно: промежуток между ними не позволяет границам встретиться. Когда d = R + r, крайние точки окружностей соприкасаются с внешней стороны. Поэтому возникает ровно одна общая точка, и это внешнее касание.

Если |R − r| < d < R + r, расстояние между центрами достаточно велико для выхода из внутренней области, но недостаточно велико для полного разделения окружностей. Из-за этого границы пересекаются, образуя две общие точки. Центр каждой окружности при этом может находиться вне другой, хотя сами окружности пересекаются.

Если d = |R − r|, меньшая окружность достигает границы большей изнутри только в одной точке. Это внутреннее касание. Если же d < |R − r|, меньшая окружность не доходит до границы большей, поэтому общих точек нет.

Особый случай возникает при d = 0, когда центры совпадают. При равных радиусах окружности совпадают полностью, а при разных радиусах одна находится внутри другой. Поэтому для полного ответа нужно учитывать не только пять основных сравнений, но и совпадение центров.

Взаимное расположение двух окружностей

Чтобы пользоваться таблицей, сначала найдите расстояние d между центрами. Затем вычислите сумму радиусов и модуль их разности, после чего сравните три числа. Граница равенству соответствует касанию, а строгие неравенства — отсутствию касания или пересечению.

Разбор задач

Задача 1

Радиусы окружностей равны 3 см и 5 см, а расстояние между центрами — 9 см. Нужно определить взаимное расположение окружностей. Для этого сравним расстояние с суммой радиусов.

1. Находим сумму радиусов: 3 + 5 = 8 см.
2. Сравниваем: 9 см > 8 см.
3. Расстояние больше суммы радиусов, значит, окружности не могут встретиться.

Ответ: окружности расположены вне друг друга и имеют 0 общих точек.

Задача 2

Радиусы окружностей равны 4 см и 7 см. Требуется найти расстояние между центрами для внутреннего касания. При таком касании меньшая окружность касается большей изнутри, поэтому используется разность радиусов.

1. Находим модуль разности радиусов: |7 − 4| = 3 см.
2. Для внутреннего касания приравниваем расстояние к этой разности: d = |R − r|.
3. Получаем d = 3 см.

Ответ: окружности будут касаться внутренним образом, если расстояние между центрами равно 3 см.

Задача 3

Радиусы окружностей равны 2 см и 6 см, расстояние между центрами — 5 см. Нужно понять, попадает ли d между разностью и суммой радиусов. Именно это условие означает пересечение в двух точках.

1. Вычисляем разность: |6 − 2| = 4 см.
2. Вычисляем сумму: 6 + 2 = 8 см.
3. Проверяем: 4 < 5 < 8, условие выполнено.

Ответ: окружности пересекаются и имеют 2 общие точки.

Типичные ошибки

Первая ошибка — сравнивать d только с суммой радиусов и не проверять разность. Так можно не заметить внутреннее касание или случай, когда меньшая окружность полностью находится внутри большей. Проверяйте оба числа: R + r и |R − r|.

Иногда условие d = |R − r| путают с d = R + r. Сумма радиусов относится к внешнему касанию, а разность — к внутреннему. Перед ответом спросите себя, находится ли меньшая окружность внутри большей.

Ещё одна ошибка — считать любую одну общую точку пересечением. При пересечении общих точек две, а при касании только одна. Число точек всегда сверяйте с таблицей.

Нельзя забывать о случае d = 0. Совпадающие центры не всегда означают отсутствие общих точек: при равных радиусах окружности совпадают полностью. Сравните радиусы, если расстояние между центрами равно нулю.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать, что такое окружность, центр и радиус. Также понадобится умение находить расстояние между точками и сравнивать числа. Эти знания позволяют переводить условие задачи в сравнение d, R + r и |R − r|.

Правило взаимного расположения окружностей пригодится в геометрических задачах. Позже похожие сравнения помогут изучать положение прямых и окружностей, а также находить точки их пересечения. Геометрические условия будут описываться уже не только словами, но и формулами.

Что запомнить

• Обозначим радиусы окружностей R и r, а расстояние между центрами d.
• Сумма радиусов R + r задаёт границу внешнего касания.
• Разность радиусов |R − r| задаёт границу внутреннего касания.
• При |R − r| < d < R + r окружности имеют две общие точки.
• При d = R + r или d = |R − r| окружности имеют одну общую точку.
• Если расстояние не равно ни сумме, ни разности радиусов, окружности не касаются.