5.3. Построение треугольника

Определения и обозначения

Задача на построение — задача, в которой требуется построить фигуру с помощью заданных инструментов и выполнить указанные условия. Иначе говоря, недостаточно нарисовать похожую фигуру: каждая её часть должна подходить под условие. Это помогает отличать точное геометрическое построение от рисунка от руки.

Циркуль — инструмент, которым проводят окружности и переносят расстояния. Расстояние между его ножками можно сохранить и отложить на другом месте. Поэтому циркуль нужен, когда длину стороны требуется перенести, не измеряя её заново.

Линейка — инструмент для проведения прямой через две заданные точки. В построениях ею также проводят лучи, то есть части прямой, имеющие начало и продолжающиеся в одну сторону. Линейка помогает соединять вершины и задавать направление сторон.

Построение треугольника — получение треугольника, удовлетворяющего заданным условиям, с помощью циркуля и линейки. Условиями могут быть известные длины сторон или величины углов. Такое построение позволяет проверить, хватает ли заданных сведений, чтобы получить нужную фигуру.

Как это устроено

Построение удобно разбивать на шаги, потому что каждый новый шаг использует уже полученные точки или линии. Сначала обычно строят то, что задано напрямую, например отрезок известной длины. Затем добавляют окружности или лучи, связанные с остальными условиями. Так легче понять, откуда появилась каждая вершина и почему построенная фигура подходит.

Чтобы построить треугольник по трём сторонам, одну сторону принимают за основу. Из её концов проводят окружности с радиусами, равными двум оставшимся сторонам: любая точка такой окружности находится на заданном расстоянии от её центра. Поэтому точка пересечения окружностей одновременно оказывается на нужном расстоянии от обоих концов основы и становится третьей вершиной.

Для трёх сторон сначала проверяют неравенство треугольника: сумма любых двух длин должна быть больше третьей. Если, например, две короткие стороны вместе не длиннее самой длинной, их окружности не встретятся так, чтобы образовать вершину над основой. При строгом выполнении всех трёх неравенств построение возможно; окружности пересекутся в двух точках по разные стороны основы.

При построении по двум сторонам и углу между ними сначала создают именно этот угол. На его лучах откладывают заданные длины, потому что лучи задают направления сторон, а угол между ними должен сохраниться. Соединив дальние концы отрезков, получают третью сторону. Здесь построение возможно для любых положительных длин сторон и угла больше 0° и меньше 180°.

Если заданы сторона и два прилежащих к ней угла, сторону строят первой, а лучи проводят из её концов. Каждый луч должен образовать с основой соответствующий заданный угол, поэтому лучи пересекаются в третьей вершине. Чтобы пересечение было внутри треугольника, сумма двух углов должна быть меньше 180°: тогда остаётся положительный третий угол.

Построение треугольника по заданным элементам

Сначала найдите в таблице строку, которая совпадает с данными задачи. Затем проверьте условие возможности и выполняйте шаги именно в указанном порядке. Два расположения отличаются только тем, что треугольник построен по разные стороны от выбранной основы.

Разбор задач

Задача 1. Постройте треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см. Сначала проверим, допустимы ли эти длины: 3 + 4 больше 5, а две другие суммы также больше оставшейся стороны. Значит, окружности смогут пересечься и задать вершину.

1. Проведите отрезок AB длиной 5 см: он будет одной стороной треугольника.
2. Поставьте иглу циркуля в точку A и проведите окружность радиусом 3 см. Из точки B проведите окружность радиусом 4 см.
3. Обозначьте одну из точек пересечения окружностей буквой C. Соедините C с A и с B: расстояния AC и BC равны радиусам окружностей.

Ответ: треугольник ABC построен, его стороны равны 5 см, 3 см и 4 см. Можно выбрать и вторую точку пересечения окружностей: треугольник окажется по другую сторону от AB. Условия задачи при этом не изменятся.

Задача 2. Постройте треугольник, две стороны которого равны 4 см и 6 см, а угол между ними — 60°. Угол задан именно между этими сторонами, поэтому начать нужно с него. По его лучам удобно сразу отложить обе длины.

1. Постройте угол 60° с вершиной O и лучами OA и OB.
2. На одном луче отложите OA = 4 см, на другом — OB = 6 см. Проверьте, что стороны начинаются в одной точке O.
3. Соедините точки A и B отрезком. Он замыкает треугольник и образует две оставшиеся стороны.

Ответ: треугольник OAB построен. Его стороны OA и OB имеют нужные длины, а угол между ними равен 60°. При откладывании длин можно поменять их местами на лучах, если обозначения вершин не заданы заранее.

Задача 3. Постройте треугольник с основанием 6 см и прилежащими к нему углами 50° и 70°. Слово «прилежащими» означает, что оба угла стоят у концов основания. Их сумма 120°, то есть меньше 180°, поэтому лучи образуют вершину внутри треугольника.

1. Проведите отрезок AB длиной 6 см.
2. В точке A постройте луч, образующий с AB угол 50°. В точке B постройте луч, образующий с BA угол 70°, со стороны будущего треугольника.
3. Обозначьте пересечение лучей буквой C и соедините вершину с концами основания, если отрезки ещё не обозначены.

Ответ: треугольник ABC построен, его основание равно 6 см, а углы при основании равны 50° и 70°. Если лучи провести по разные стороны от основания, получится зеркальное расположение такой же фигуры. При проверке убедитесь, что каждый угол отложен от нужного конца основания.

Типичные ошибки

Начинать построение по трём сторонам, не проверив неравенство треугольника, — значит рисковать получить две окружности без подходящего пересечения. Это происходит, когда условие считают формальностью и сразу берутся за циркуль. Перед построением сложите каждую пару длин и сравните сумму с третьей. Если хотя бы одна сумма не больше третьей стороны, такой треугольник построить нельзя.

При построении по двум сторонам можно отложить их не на сторонах заданного угла. Тогда угол между полученными сторонами будет другим, хотя сами длины сохранятся. Ошибку допускают, когда не отмечают вершину угла и откладывают отрезки от разных точек. Проверьте, что обе стороны начинаются в вершине заданного угла и лежат на его лучах.

При построении по двум прилежащим углам лучи иногда проводят не из тех концов заданной стороны. В результате величины углов могут быть верными, но они не будут прилежать к нужному отрезку. Чтобы этого избежать, подпишите концы стороны и у каждого отметьте, какой угол строится. Затем проверьте, что каждый луч начинается у своего конца основы.

Точку пересечения окружностей или лучей часто принимают за единственно возможную и забывают о другой стороне основы. Это не меняет размеры треугольника, но может не совпасть с расположением, показанным в условии или выбранным в чертеже. Посмотрите, есть ли пересечение с обеих сторон исходного отрезка. Если требуется только построить треугольник, достаточно выбрать один из зеркальных вариантов.

Связь с другими темами

До построения треугольников нужно уметь пользоваться линейкой и циркулем, проводить прямую через точки, строить отрезок заданной длины и откладывать угол. Эти действия становятся отдельными шагами более сложного построения. Чем аккуратнее выполнены простые построения, тем легче получить точную фигуру. Поэтому полезно проверять длины и углы ещё до соединения всех вершин.

Построение пригодится при решении геометрических задач, когда требуется восстановить фигуру по её свойствам. Оно связано и с признаками равенства треугольников: если заданы определённые стороны и углы, ими можно однозначно задать форму и размеры треугольника. Умение выполнить построение помогает увидеть, какие именно данные нужны для сравнения фигур. Позже те же идеи будут применяться в более сложных доказательствах.

Что запомнить

• Каждый шаг построения должен опираться на заданные условия.
• Три стороны задают треугольник, если сумма любых двух из них больше третьей.
• При построении по двум сторонам заданный угол должен быть углом между ними.
• При построении по стороне и двум прилежащим углам лучи проводят из концов этой стороны.
• Циркуль помогает переносить расстояния и проводить окружности.
• Построение нужно завершить проверкой всех заданных условий.