Построение треугольника

Определения и обозначения

Задача на построение — задача, в которой фигуру требуется построить с помощью заданных инструментов и проверить, что она удовлетворяет условию. В такой задаче недостаточно назвать размеры или начертить приблизительную фигуру. Нужно выполнить последовательность точных действий и убедиться, что полученный объект подходит.

Циркуль — инструмент для построения окружностей и переноса расстояний. Расстояние между его ножками можно сохранить, а затем отложить от другой точки. Поэтому циркуль помогает строить точки, удалённые от выбранного центра на заданную длину.

Линейка — инструмент для проведения прямой через две заданные точки; при построениях её деления для измерения не используют. Длину отрезка в задаче переносят циркулем, а линейкой соединяют уже найденные точки. Это позволяет выполнять построения по геометрическим правилам.

Построить треугольник — значит выполнить разрешёнными инструментами все нужные построения и получить треугольник, соответствующий заданным данным. После чертежа проверяют длины, углы и взаимное положение элементов. Такая проверка отличает точное построение от случайного рисунка.

Как это устроено

Построение треугольника сводится к построению его вершин, потому что три точки однозначно задают треугольник. Сначала используют известные длины и углы, а затем находят точки, удовлетворяющие этим условиям. Например, условие «точка находится на расстоянии 4 см от данной точки» превращается в окружность радиуса 4 см.

Треугольник по трём сторонам строят так: проводят одну сторону, а из её концов проводят окружности радиусами, равными двум другим сторонам. Третья вершина должна лежать на первой окружности, поскольку удалена на одну заданную длину от одного конца основания, и на второй — из-за расстояния до другого конца. Поэтому точка пересечения окружностей одновременно выполняет оба условия.

Для построения по двум сторонам и углу между ними сначала откладывают угол, на его лучах — заданные стороны, затем соединяют их концы. Угол нужен именно между этими сторонами, так как он определяет направление каждого луча относительно другого. Если изменить его положение или выбрать другой угол, взаимное расположение сторон изменится, и условие задачи будет нарушено.

Если известны сторона и два прилежащих к ней угла, строят сторону и углы при её концах. Из каждой вершины основания проводят луч в направлении, заданном соответствующим углом. Пересечение лучей даёт третью вершину, потому что она одновременно видна из обоих концов основания под указанными углами. Иногда окружности или лучи могут дать два варианта, поэтому результат нужно проверить.

Основные случаи построения треугольника

Сначала найдите в условии, какие элементы известны, и выберите соответствующую строку. Затем выполняйте начальный шаг из второго столбца и используйте способ нахождения вершины из третьего. Последний столбец помогает заранее понять, возможно ли построение.

Если построение выполнено аккуратно, полученная фигура должна иметь именно заданные стороны и углы. Пересечение линий или окружностей не заменяет проверку результата. Измерения после построения используют только для контроля.

Разбор задач

Треугольник по трём сторонам

Условие: постройте треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см. Выберем отрезок длиной 5 см как основание. Две оставшиеся длины определят положение третьей вершины.

1. Проведите отрезок AB = 5 см, перенеся длину циркулем.
2. Из точки A проведите окружность радиусом 3 см, а из точки B — окружность радиусом 4 см.
3. Обозначьте одну из точек пересечения окружностей буквой C и соедините её с A и B.

Ответ: треугольник ABC построен. Его стороны равны 3 см, 4 см и 5 см. У окружностей есть точки пересечения, поскольку 3 + 4 > 5.

Треугольник по двум сторонам и углу

Условие: постройте треугольник, две стороны которого равны 4 см и 5 см, а угол между ними — 60°. Сначала нужно создать общий угол для этих сторон. После этого концы отрезков определят третью сторону.

1. Постройте угол A величиной 60° с лучами AB и AC.
2. На одном луче отложите AB = 4 см, а на другом — AC = 5 см.
3. Соедините точки B и C линейкой.

Ответ: получен треугольник ABC с AB = 4 см, AC = 5 см и углом BAC = 60°. Угол расположен между двумя заданными сторонами, поэтому условие выполнено.

Треугольник по стороне и двум углам

Условие: постройте треугольник с основанием 6 см и прилежащими к нему углами 50° и 70°. Основание удобно построить первым, так как оба угла заданы именно при его концах. Третья вершина появится там, где встретятся направленные лучи.

1. Проведите отрезок AB = 6 см.
2. В точке A постройте луч, образующий с AB угол 50°, а в точке B — луч, образующий с BA угол 70°.
3. Обозначьте пересечение лучей буквой C и соедините C с A и B, если это не сделано частями лучей.

Ответ: построен треугольник ABC с AB = 6 см, углами A = 50° и B = 70°. Лучи пересекаются, потому что сумма заданных углов равна 120°, то есть меньше 180°.

Типичные ошибки

При построении по трём сторонам выбирают радиусы окружностей не по условию или отсчитывают их не от тех концов основания. Так происходит, если перепутать, какая длина относится к каждой вершине. Проверьте подписи у концов основания и радиус каждой окружности до её проведения.

При построении по двум сторонам откладывают угол не между заданными сторонами. Ошибку допускают, когда строят нужный угол в другой вершине или используют не те лучи. Убедитесь, что обе известные стороны выходят из вершины заданного угла.

Иногда точки соединяют до того, как убедились, что пересечение окружностей или лучей существует и выбрано верно. Из-за этого появляется произвольный отрезок, не задающий нужную вершину. Сначала отметьте точку пересечения, затем проверьте условие и только после этого соединяйте точки.

Нельзя считать, что любые три длины образуют треугольник. Если сумма двух меньших сторон не больше третьей, окружности не пересекутся в нужной точке. Перед началом сравните эту сумму с большей стороной.

Связь с другими темами

До темы нужно уметь откладывать отрезок заданной длины, строить угол и окружность циркулем. Эти действия являются отдельными строительными шагами, из которых складывается весь алгоритм. Чем точнее выполнены базовые построения, тем надёжнее результат.

Построения пригодятся при решении геометрических задач на равенство треугольников и при нахождении неизвестных элементов фигуры. Построенный чертёж помогает увидеть, какие стороны и углы соответствуют друг другу. По нему легче обосновать решение, а не только получить ответ измерением.

Что запомнить

• Основные инструменты построения — линейка и циркуль.
• Третью вершину находят как точку пересечения построенных линий или окружностей.
• По трём сторонам треугольник строят пересечением двух окружностей.
• При построении по двум сторонам важно задать угол именно между ними.
• При построении по стороне и двум прилежащим углам третью вершину задаёт пересечение лучей.
• Перед построением проверьте, что заданные данные позволяют получить треугольник.