Геометрические фигуры

Определения и обозначения

Геометрическая фигура — это множество точек плоскости или пространства. Она может состоять всего из одной точки или из множества точек, образующих линию либо более сложную форму. Это понятие объединяет разные геометрические объекты: чтобы описать фигуру, можно указать, какие точки в неё входят.

Точка — основной геометрический объект, который обозначают заглавной латинской буквой: A, B или C. У точки нет размеров: на чертеже её изображают маленькой отметкой лишь для наглядности. Названия помогают точно говорить об объектах и различать их на рисунке.

Прямая — бесконечная линия без начала и конца. Её можно обозначить строчной латинской буквой, например прямой a, или двумя заглавными буквами точек на ней: прямая AB. Обозначение с точками удобно, когда нужно связать прямую с уже названными точками.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками; эти точки называют его концами. Отрезок с концами A и B обозначают AB или BA, причём обе записи называют один и тот же отрезок. Указание концов позволяет понять, какую именно часть прямой рассматривают.

Как это устроено

Точку, прямую и другие геометрические объекты рассматривают как фигуры, потому что фигура задаётся набором точек. Для точки этот набор состоит из одной точки, а прямая включает бесконечно много точек. Такое понимание помогает описывать фигуры через их состав, а не только через внешний вид рисунка.

Через любые две различные точки проходит единственная прямая. Если бы через них проходили две разные прямые, обе должны были бы содержать те же точки и при этом различаться, что противоречит свойству прямой через заданную пару точек. Поэтому двух точек достаточно, чтобы однозначно назвать прямую, например AB.

Чтобы получить отрезок из прямой, выбери на ней две точки и рассмотри часть между ними. В эту часть входят не только точки, расположенные между выбранными, но и обе выбранные точки. Они ограничивают отрезок и становятся его концами, поэтому его можно обозначить буквами этих точек.

Прямая и отрезок отличаются тем, что у прямой нет концов, а у отрезка их два. На чертеже прямая обычно изображена линией, выходящей за отмеченные на ней точки, а отрезок заканчивается в концах. Рисунок не всегда показывает бесконечность буквально, поэтому при чтении обозначений важно смотреть, какой объект назван.

Обозначения связывают объект с точками, которые на нём лежат. Если на прямой отмечены A и B, её можно назвать прямой AB; запись отрезка AB означает только часть между A и B вместе с концами. Одна и та же пара букв помогает увидеть связь, но слова «прямая» и «отрезок» уточняют, какой именно объект имеется в виду.

Сравнение основных геометрических объектов

Сначала найди, какие точки задают объект, а затем проверь, есть ли у него концы. Если объект обозначен двумя буквами, смотри на его название: AB может означать как прямую, так и отрезок. Слова «прямая» и «отрезок» снимают эту неоднозначность.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке отмечены точки A и B. Назовите прямую, проходящую через них, и запишите её обозначение. Считаем, что точки различны, как требуется для построения прямой по двум точкам.

1. Через две различные точки проходит единственная прямая.
2. Названия точек — A и B, поэтому прямую можно обозначить этими буквами.
3. Порядок букв не меняет прямую: AB и BA указывают на одну и ту же линию.

Ответ: прямая AB (или BA).

Задача 2. На прямой отмечены точки A, B и C. Запишите обозначения всех отрезков, концами которых являются эти точки. Нужно рассмотреть каждую пару точек ровно один раз, поскольку две точки задают один отрезок.

1. Сначала возьмём пару A и B; ей соответствует отрезок AB.
2. Затем составим пары A и C, B и C; им соответствуют отрезки AC и BC.
3. Других пар из трёх точек нет, поэтому других отрезков с такими концами не получится.

Ответ: AB, AC и BC.

Задача 3. Точки A и B лежат на прямой, а точка C расположена между ними. Запишите отрезки, на которые C делит AB, и объясните, из каких частей состоит исходный отрезок. Порядок точек на прямой можно представить как A, C, B.

1. Между A и C образуется отрезок AC, а между C и B — отрезок CB.
2. Точка C является концом обоих частей и одновременно лежит внутри AB.
3. Вместе AC и CB заполняют участок от A до B без пропусков, а их общая точка — C.

Ответ: отрезок AB разделён на отрезки AC и CB; AB состоит из этих двух частей с общей точкой C.

Типичные ошибки

Считать, что у прямой есть начало или конец, — значит принять край нарисованного кусочка за край самой прямой. Так происходит потому, что на листе невозможно изобразить бесконечную линию целиком. Проверяй себя: мысленно продолжи прямую за отметки в обе стороны, если в условии не сказано, что рассматривается отрезок.

Путать прямую с отрезком — значит не учитывать наличие концов у отрезка. На рисунке обе фигуры могут выглядеть как линия, поэтому легко сосредоточиться только на форме. Уточни название объекта и проверь, ограничена ли рассматриваемая часть двумя точками.

Называть точку отрезком или считать, что у неё есть длина, — ошибка: точка не имеет размеров. На чертеже отметка выглядит крупнее точки, чтобы её было видно, и это может ввести в заблуждение. Проверь себя: буква называет положение точки, а не маленький отрезок и не участок с измеримой длиной.

Считать, что через две точки можно провести несколько разных прямых, — значит забыть, что две различные точки однозначно задают прямую. Это заблуждение может возникнуть, если мысленно поворачивать рисунок или менять его наклон. Проверь себя: при любых двух положениях линии, проходящей через обе точки, получится одна и та же прямая.

Связь с другими темами

До изучения геометрических объектов полезно научиться обозначать точки заглавными латинскими буквами и читать геометрические рисунки. Тогда будет проще распознавать точки на прямой и понимать записи вроде AB. Если обозначения пока непривычны, проговаривай вслух, какой объект назван и какими буквами.

Точки, прямые и отрезки понадобятся при изучении углов и многоугольников. Например, стороны многоугольника состоят из отрезков, а положение вершин задают точками. При измерении длины также важно отличать отрезок, длину которого находят, от прямой, бесконечной в обе стороны.

Представление о фигуре как множестве точек пригодится при изучении координат и геометрических преобразований. Координаты позволяют задавать положение точек числами, а преобразования перемещают или меняют фигуры, состоящие из этих точек. Так начальные понятия становятся основой для описания более сложных геометрических свойств.

Что запомнить

• Геометрическая фигура состоит из точек.
• Точка не имеет размеров.
• Прямая бесконечна и не имеет концов.
• Через две различные точки проходит единственная прямая.
• Отрезок — часть прямой между двумя точками, включая эти точки.
• Концы отрезка задают его обозначение.