"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Числа помогают считать, измерять величины и записывать результаты вычислений. Разные задачи требуют разных чисел: для счёта достаточно натуральных, для записи температуры ниже нуля нужны отрицательные, а дроби позволяют выразить части целого. Все эти числа связаны и образуют расширяющиеся множества. Чтобы вычислять верно, нужно понимать, к какому множеству относится число, знать порядок действий и применять свойства сложения и умножения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Натуральные числа — числа, которыми считают предметы: 1, 2, 3 и так далее. Нуль в это множество включают не всегда: одни обозначения считают натуральными числами только числа от 1, другие — числа от 0. Поэтому при чтении задачи нужно учитывать соглашение, принятое в учебнике. Это множество удобно, когда считают отдельные предметы или задают их количество.
Целые числа — натуральные числа, противоположные им числа и нуль. Например, вместе с 4 в целые входят −4 и 0. Отрицательные числа нужны, чтобы описывать величины ниже выбранного нуля, например температуру или долг. Знак показывает, по какую сторону от нуля находится число.
Рациональные числа — числа, которые можно представить дробью m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0. Например, −3 = −3/1, а 0,25 = 1/4. К рациональным относятся также конечные и бесконечные периодические десятичные дроби. Такое представление помогает выполнять действия с частями целого.
Действительные числа — рациональные и иррациональные числа, то есть числа, которые нельзя представить дробью из целых чисел. Например, √2 — иррациональное число. Каждому действительному числу соответствует точка на числовой прямой, и каждой точке соответствует действительное число. Это позволяет сравнивать числа и наглядно видеть их порядок.
Числовые множества расширяются: натуральные входят в целые, целые — в рациональные, рациональные — в действительные. В более широкое множество переходят, когда прежних чисел недостаточно: вычитание 3 − 5 приводит к отрицательному целому числу, а деление 1 : 2 — к дроби. Так можно выполнять больше действий и записывать результаты задач. При этом прежние числа не исчезают, а остаются частью нового множества.
Сложение объединяет количества, а вычитание показывает, насколько одно количество отличается от другого или сколько осталось. Умножение можно понимать как повторное сложение одинаковых слагаемых, а деление — как разделение на равные части или поиск неизвестного множителя. Деление a : b означает поиск числа, которое при умножении на b даёт a. При b = 0 такого числа для ненулевого a нет, а для a = 0 оно не единственное, поэтому деление на нуль не определено.
Порядок действий нужен, чтобы одно и то же выражение все вычисляли одинаково. Сначала считают в скобках, затем выполняют возведение в степень, умножение и деление, а после — сложение и вычитание. Действия одного приоритета выполняют слева направо. Скобки позволяют изменить последовательность и показать, какие вычисления нужно сделать вместе.
Свойства сложения и умножения помогают менять запись, не меняя результата. Слагаемые и множители можно переставлять: a + b = b + a, ab = ba; их можно группировать: (a + b) + c = a + (b + c). Это удобно, когда можно объединить числа, дающие круглую сумму или произведение. Распределительное свойство a(b + c) = ab + ac позволяет раскрыть скобки или, наоборот, вынести общий множитель.
Сравнивать действительные числа удобно по числовой прямой: число левее другого меньше. Для дробей можно привести записи к общему знаменателю и сравнить числители; этот способ применим, когда знаменатели положительны. Десятичные дроби сравнивают по разрядам, при необходимости дописывая нули справа после запятой. Например, 0,7 = 0,70, поэтому 0,7 больше 0,65.
| Множество | Какие числа входят | Примеры | Как может быть записано число |
|---|---|---|---|
| Натуральные числа | Числа для счёта; включение нуля зависит от соглашения | 1, 2, 5 | Целая положительная запись |
| Целые числа | Натуральные, противоположные им и нуль | −3, 0, 7 | Целое число со знаком или без него |
| Рациональные числа | Числа, представимые дробью m/n, n ≠ 0 | 2/3, −4, 0,25 | Обыкновенная дробь или конечная либо периодическая десятичная дробь |
| Иррациональные числа | Числа, не представимые дробью из целых чисел | √2, π | Бесконечная непериодическая десятичная запись |
| Действительные числа | Рациональные и иррациональные числа | −2, 3/5, √2 | Точка на числовой прямой |
Сначала определите, к какому множеству относится число, а затем посмотрите на возможные способы его записи. Одно число может иметь несколько записей: например, 0,5 = 1/2. Иррациональное число нельзя точно записать конечной десятичной дробью, но ему соответствует точка на прямой.
Задача 1. Вычислите 48 − 19 + 6 и объясните выбранный порядок действий. Вычитание и сложение имеют одинаковый приоритет, поэтому выполняем их по порядку слева направо. Сначала находим разность, затем прибавляем 6. Нельзя сначала вычислить 19 + 6: такая группировка изменила бы выражение.
Ответ: 35. Проверка возможна обратным действием: 35 − 6 = 29, а 29 + 19 = 48. Значит, вычисление согласуется с исходной записью.
Задача 2. Вычислите 3/4 + 5/6 и представьте ответ в виде несократимой дроби. Складывать числители можно только у дробей с одинаковыми знаменателями, поскольку знаменатель задаёт размер долей. Наименьший общий знаменатель для 4 и 6 — 12. Переведём обе дроби в двенадцатые, сложим числители и проверим, сокращается ли результат.
Ответ: 19/12, или 1 7/12. Смешанное число получено выделением целой части, но несократимая неправильная дробь уже является требуемым ответом.
Задача 3. Вычислите 2,4 · (5 − 1,5) + 3/5 : 0,2. Сначала нужно найти значение в скобках, затем выполнить умножение и деление, а потом сложение. Делитель 0,2 не равен нулю, значит, деление допустимо. Удобно отдельно вычислить обе части выражения до их сложения.
Ответ: 11,4. Проверяем, что скобки вычислены первыми, а сложение сделано только после умножения и деления. При делении дроби на десятичное число полезно сначала записать 3/5 как 0,6.
Считать, что натуральные числа обязательно включают нуль, — значит забывать о разных соглашениях. Такое заблуждение возникает потому, что нуль часто используют при счёте и записи чисел. Проверьте, какое обозначение множества принято в учебнике или условии. При этом нуль всегда остаётся целым числом.
В выражении без скобок нельзя выполнять все действия подряд слева направо, не учитывая приоритет. Так ошибаются, когда воспринимают запись как обычную цепочку вычислений. Сначала найдите умножение и деление, затем сложение и вычитание; в равноприоритетных действиях двигайтесь слева направо. Для проверки можно поставить скобки над теми частями, которые вычисляются первыми.
При сложении или вычитании дробей не складывают и не вычитают знаменатели. Ошибка появляется, если применять к дробям правила для целых чисел без учёта размера долей. Сначала приведите дроби к общему знаменателю, а затем действуйте с числителями. Проверьте себя обратным представлением дробей в равных долях.
Делить на нуль или сокращать дробь на нуль нельзя. Иногда кажется, что нуль можно просто убрать из записи, но деление на него не имеет определённого результата, а сокращение допустимо только на ненулевой общий множитель. Перед делением проверьте, что делитель не равен нулю. При сокращении проверьте, что числитель и знаменатель делятся на один и тот же ненулевой множитель.
Для освоения темы нужны таблица умножения, смысл четырёх арифметических действий и навыки работы с обыкновенными и десятичными дробями. Эти знания позволяют выполнять вычисления, приводить дроби к общему знаменателю и проверять результат. Если с действиями пока трудно, полезно сначала потренироваться на простых числовых примерах. Тогда правила для разных множеств будет легче применять осмысленно.
Числовые множества и порядок вычислений нужны при решении уравнений и неравенств: ответ требуется правильно записать и сравнить с другими числами. Они также помогают работать с процентами, которые связаны с дробями, и преобразовывать выражения, используя свойства действий. Умение соблюдать порядок действий снижает риск ошибки в длинных вычислениях. А понимание множеств помогает заметить, например, что решение уравнения может быть дробным или отрицательным.
Входит ли нуль в множество натуральных чисел?
Это зависит от принятого обозначения: в одних учебниках натуральные числа начинаются с 1, в других к ним относят и 0. Поэтому проверяйте соглашение, используемое в учебнике или задаче. Нуль в любом случае является целым числом.
Чем целые числа отличаются от рациональных?
Целые числа — это натуральные числа, противоположные им числа и нуль. Рациональные числа включают целые, но также содержат дроби, например 2/3 и −5/4. Любое целое число можно записать дробью со знаменателем 1.
Как понять, является ли число рациональным?
Число рационально, если его можно представить в виде m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0. Например, 0,75 = 3/4, поэтому это рациональное число. Бесконечная непериодическая десятичная дробь, например √2, иррациональна.
Почему нельзя делить на нуль?
Деление a : b должно дать число, которое при умножении на b равно a. Если b = 0, произведение любого числа на 0 равно 0, поэтому для ненулевого a подходящего результата нет. Деление на нуль не определено.
В каком порядке выполнять действия в длинном выражении?
Сначала выполняют действия в скобках, затем возведение в степень, после — умножение и деление, а в конце — сложение и вычитание. Действия одного приоритета выполняют слева направо. Скобки могут изменить обычный порядок.
Числа и вычисления
