5.4. Круглые тела

Определения и обозначения

Круглое тело — пространственное тело, которое можно получить вращением плоской фигуры вокруг прямой. При таком движении фигура проходит через разные положения и заполняет часть пространства. Это определение помогает понять, почему цилиндр, конус и шар имеют круги, окружности и оси.

Цилиндр получают вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Два круга, которые ограничивают цилиндр, называют основаниями, а расстояние между их плоскостями — высотой. Радиус основания измеряют от его центра до окружности, а ось цилиндра соединяет центры оснований.

Конус образуется вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. У него есть одно основание, вершина и высота — перпендикуляр от вершины к плоскости основания. Отрезок от вершины до точки окружности основания называют образующей.

Шар — тело, ограниченное сферой, а сфера — поверхность, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра. Это расстояние называют радиусом сферы, а отрезок через центр между двумя точками сферы — диаметром. Различие нужно, чтобы не путать всё объёмное тело с его границей.

Как это устроено

Представим прямоугольник, вращающийся вокруг одной из сторон. Вращаемая сторона остаётся на месте и становится осью, а противоположная сторона описывает окружность. Все промежуточные положения прямоугольника заполняют цилиндр: длина оси задаёт высоту, а расстояние до оси — радиус.

Круги на концах цилиндра равны, потому что их образует одна и та же сторона прямоугольника на одинаковом расстоянии от оси. Они лежат в параллельных плоскостях, так как перемещаются вдоль одной прямой. Поэтому расстояние между основаниями измеряют по перпендикуляру и называют высотой цилиндра.

Если вращать прямоугольный треугольник вокруг катета, второй катет описывает круг. Он становится радиусом основания, а неподвижный катет задаёт высоту конуса. Гипотенуза при вращении образует боковую поверхность, поэтому отрезки от вершины до окружности основания называют образующими.

Полукруг, вращаясь вокруг своего диаметра, заполняет шар. Центр полукруга становится центром шара, а его радиус определяет расстояние до границы во всех направлениях. Граница получается сферой: каждая её точка удалена от центра на один и тот же радиус.

Круглое тело нельзя путать с плоским кругом: круг лежит в одной плоскости, а цилиндр, конус и шар занимают пространство. Если рассечь тело плоскостью, получится плоская фигура; например, у цилиндра сечение, перпендикулярное оси, является кругом. Сечение через ось цилиндра даёт прямоугольник, через ось конуса — равнобедренный треугольник, а через центр шара — круг диаметром, равным диаметру шара.

Сравнение круглых тел

Таблица помогает сначала определить тело по способу получения и числу оснований. Затем можно сравнить его элементы и форму осевого сечения. Если в условии говорится о двух равных параллельных кругах, выбирайте цилиндр, а если названы вершина и одно основание — конус.

Разбор задач

Задача 1

Условие: По описанию тело имеет два равных круглых основания, расположенных в параллельных плоскостях. Нужно определить это тело.

1. Основание круглое, значит, речь идёт о круглом теле.
2. У тела два основания, они равны и параллельны. Это главный признак цилиндра.
3. У конуса основание только одно, а у шара оснований не выделяют.

Ответ: это цилиндр. Его основания равны и лежат в параллельных плоскостях.

Задача 2

Условие: Прямоугольник со сторонами 4 см и 7 см вращают вокруг стороны длиной 7 см. Определить вид тела, его радиус и высоту.

1. Вращение прямоугольника вокруг стороны образует цилиндр.
2. Сторона, вокруг которой вращают прямоугольник, становится осью цилиндра. Поэтому её длина 7 см равна высоте.
3. Другая сторона отходит от оси и описывает круг. Значит, 4 см — радиус основания.

Ответ: получился цилиндр; его радиус равен 4 см, высота — 7 см.

Задача 3

Условие: Сравнить тела, полученные вращением прямоугольника и прямоугольного треугольника вокруг катета, и указать соответствующие элементы.

1. Вращение прямоугольника даёт цилиндр, а вращение прямоугольного треугольника вокруг катета — конус.
2. У цилиндра стороне вращения соответствует ось и высота, а второй стороне — радиус основания.
3. У конуса выбранный катет задаёт высоту, второй катет — радиус основания, а гипотенуза образует боковую поверхность и даёт образующие.
4. Цилиндр имеет два равных основания и не имеет вершины, конус — одно основание и одну вершину.

Ответ: тела связаны способом вращения, но различаются числом оснований и наличием вершины.

Типичные ошибки

Ошибка: называть круг шаром. Круг — плоская фигура, а шар занимает пространство; такое смешение появляется из-за похожих слов «круглый» и «шар». Проверьте себя: можно ли у объекта указать толщину и внутреннее пространство?

Ошибка: считать сферу и шар одним и тем же. Сфера является только границей, а шар включает всё, что находится внутри этой границы; различие похоже на различие между оболочкой и наполненным телом. Спросите себя, описывается ли объект только поверхностью или и внутренней частью.

Ошибка: путать радиус основания цилиндра или конуса с высотой. Радиус лежит в плоскости основания, а высота перпендикулярна основанию или соединяет параллельные основания. Для проверки найдите, идёт ли отрезок поперёк основания или от центра к его окружности.

Ошибка: называть образующую конуса высотой. Образующая наклонена и соединяет вершину с точкой окружности основания, а высота приходит в основание под прямым углом. Если угол не равен 90°, это не высота.

Связь с другими темами

До изучения круглых тел нужны знания о круге, окружности, радиусе, диаметре, прямоугольнике и треугольнике. Также пригодятся понятия перпендикуляра и вращения фигуры. Они помогают правильно находить элементы тел.

Тема понадобится при изучении объёмов и площадей поверхности цилиндра, конуса и шара. Сначала нужно научиться узнавать тело и его размеры, а затем подставлять их в формулы. Ошибка в выборе радиуса или высоты приведёт к неверному результату.

В практике круглые тела встречаются в предметах и деталях: банках, конусах, мячах и трубах. Представление о вращении помогает создавать развёртки и описывать форму изделия. По элементам тела можно понять, как его изготовить и измерить.

Что запомнить

• Круглые тела получают вращением плоских фигур.
• Цилиндр имеет два равных круглых основания.
• Конус имеет одно круглое основание и вершину.
• Шар ограничен сферой.
• Радиус сферы — расстояние от её центра до любой точки сферы.
• Высота цилиндра соединяет основания перпендикулярно.
• Высота конуса перпендикулярна его основанию.