3.3. Круглые тела

Определения и обозначения

Цилиндр — круглое тело с двумя равными круглыми основаниями. Его можно узнать по двум одинаковым кругам сверху и снизу и боковой поверхности между ними. К основным элементам относят основания, их радиусы, высоту и ось цилиндра.

Конус — тело с одним круглым основанием и вершиной. Боковая поверхность соединяет вершину со всеми точками окружности основания. Отрезок от вершины до точки окружности основания называют образующей; это слово нужно, чтобы отличать его от радиуса и высоты.

Шар — тело, состоящее из всех точек пространства, удалённых от центра не больше заданного расстояния. Это значит, что в шар входят и внутренние точки, и точки его наружной границы. Заданное расстояние называют радиусом шара.

Сфера — поверхность шара. Все её точки находятся от центра на одном и том же расстоянии, равном радиусу. Например, мяч вместе с внутренним наполнением можно рассматривать как шар, а только его оболочку — как сферу.

Как это устроено

Представим прямоугольник, который вращается вокруг одной из своих сторон. Другая сторона движется по кругу: каждая её точка описывает окружность с центром на оси вращения. Поэтому длина выбранной стороны становится высотой цилиндра, а расстояние от неё до оси задаёт радиус основания.

При полном вращении прямоугольника его верхняя и нижняя стороны описывают одинаковые круги. Они находятся в параллельных плоскостях и имеют один радиус, поэтому становятся двумя равными основаниями. Боковые стороны прямоугольника при движении заметает боковую поверхность цилиндра.

Теперь возьмём прямоугольный треугольник и будем вращать его вокруг одного катета. Второй катет удалён от оси на разные расстояния, но его конечная точка описывает окружность, поэтому он задаёт радиус основания. Гипотенуза при вращении наклоняется и образует боковую поверхность, а её длина является образующей конуса.

Если вращать полукруг вокруг его диаметра, каждая точка полукруга движется по окружности с центром на диаметре. В результате все внутренние точки полукруга заполняют объём, поэтому получается шар. Дуга полукруга касается наружной границы полученного тела и при вращении описывает сферу.

Так плоская фигура и ось вращения заранее подсказывают вид круглого тела. Прямоугольник даёт цилиндр, прямоугольный треугольник — конус, а полукруг — шар. Осью становится неподвижная линия, а остальные стороны или дуги образуют поверхности и элементы тела.

Круглые тела и их получение вращением

Чтобы пользоваться таблицей, сначала найдите исходную плоскую фигуру и линию, вокруг которой она вращается. Затем определите, какая сторона или дуга образует нужный элемент тела. Так можно быстро установить не только название тела, но и его радиус, высоту или образующую.

Разбор задач

Задача 1

Какие тела можно получить вращением прямоугольника вокруг каждой из его сторон? Опишите их основания. Пусть стороны прямоугольника имеют длины a и b. Нужно связать ось вращения с высотой и определить радиус.

1. При вращении вокруг стороны длины a эта сторона становится осью и высотой цилиндра.
2. Вторая сторона длины b вращается вокруг оси и заметает круг радиуса b.
3. При вращении вокруг стороны длины b получится другой цилиндр: его высота равна b, а радиус основания равен a.

Ответ: в обоих случаях получается цилиндр. В первом случае его основания имеют радиус b, во втором — радиус a; основания всегда два и равны.

Задача 2

Прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см вращают вокруг катета длиной 3 см. Назовите тело, его радиус основания и образующую. Сначала нужно определить роль каждого отрезка относительно оси вращения.

1. Катет длиной 3 см является осью вращения, поэтому он задаёт высоту конуса.
2. Другой катет длиной 4 см вращается вокруг оси и задаёт радиус круглого основания: r = 4 см.
3. Гипотенуза становится образующей, её длина равна √(3² + 4²) = √25 = 5 см.

Ответ: получается конус; радиус основания равен 4 см, образующая равна 5 см.

Задача 3

Полукруг радиуса 5 см вращают вокруг диаметра. Назовите полученные тело и поверхность, а также расстояние от центра до любой точки этой поверхности. Здесь нужно различить объёмное тело и его наружную границу.

1. Вращение полукруга вокруг диаметра образует шар.
2. Дуга полукруга при том же вращении образует поверхность этого шара, то есть сферу.
3. Расстояние от центра до любой точки сферы равно радиусу, поэтому оно составляет 5 см.

Ответ: получаются шар и его поверхность — сфера; расстояние от центра до любой точки сферы равно 5 см.

Типичные ошибки

Иногда круг называют единственным основанием цилиндра. Ошибка возникает потому, что на рисунке часто хорошо видно только одно основание. Проверьте себя: у цилиндра должны быть два равных круга в параллельных плоскостях.

Вершину конуса путают с центром его основания. Так происходит из-за того, что оба элемента могут быть отмечены точкой. Центр лежит внутри круга основания, а вершина находится вне его плоскости и соединена с окружностью образующими.

Шар и сферу считают одним и тем же телом. Причина — в обычной речи словом «шар» часто называют и мяч, и его оболочку. Проверьте определение: шар содержит внутренние точки, а сфера является только его поверхностью.

Радиус основания конуса принимают за образующую. Эти отрезки различаются: радиус идёт от центра основания к его окружности, а образующая — от вершины к точке окружности. Самопроверка проста: один отрезок лежит в основании, другой наклонён к нему.

Связь с другими темами

Для изучения круглых тел нужны знания об окружности, круге, радиусе и диаметре. Также важно уметь распознавать прямоугольник и прямоугольный треугольник, ведь именно они участвуют в построении цилиндра и конуса вращением.

Эти представления пригодятся при изучении объёмов и площадей поверхностей тел. Они помогают решать практические задачи о банках, трубах, воронках, мячах и других предметах цилиндрической, конической или шарообразной формы.

Что запомнить

• Цилиндр имеет два равных круглых основания.
• Конус имеет одно круглое основание и одну вершину.
• При вращении прямоугольника вокруг стороны получается цилиндр.
• При вращении прямоугольного треугольника вокруг катета получается конус.
• При вращении полукруга вокруг диаметра получается шар.
• Сфера — поверхность шара, а шар включает и внутреннюю область.