§ 4. Углы

Определения и обозначения

Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Эти лучи называют сторонами угла, потому что они ограничивают его положение. Угол нужен, чтобы описывать поворот одной линии относительно другой и строить геометрические фигуры.

Вершина угла — общее начало лучей, образующих угол. Например, у лучей OA и OB общей начальной точкой является O, значит, O — вершина. По вершине удобно определять, какие лучи образуют данный угол.

Градусная мера угла — число, показывающее величину поворота между его сторонами. Её записывают числом со значком градуса: 40°, 90°, 180°. Чем больше поворот от одной стороны к другой, тем больше градусная мера угла.

Биссектриса угла — луч, исходящий из его вершины и делящий угол на два равных угла. Если биссектриса разделила угол AOB лучом OC, то ∠AOC = ∠COB. Это свойство помогает находить неизвестные части угла.

Как это устроено

Пусть из точки O выходят два луча OA и OB. Они задают направление двух сторон, но угол включает не только сами лучи, а ещё часть плоскости между ними. Именно эта часть показывает, какой поворот нужно выполнить от одного луча к другому, поэтому одних линий для описания угла недостаточно.

Угол обозначают тремя буквами, если нужно точно указать его стороны. Первая и последняя буквы называют точки на лучах, а средняя буква обозначает вершину: ∠AOB. Записи ∠AOB и ∠BOA называют один и тот же угол, потому что стороны можно перечислить в обратном порядке.

Иногда угол обозначают одной буквой, например ∠O. Так делают, когда из точки O выходит только нужная пара лучей и другого угла с вершиной O нет. Если лучей несколько, одной буквы недостаточно: она не подскажет, какие именно стороны следует рассматривать.

Чтобы измерить угол транспортиром, сначала совмещают его центр с вершиной угла. Затем одну сторону располагают по линии, где находится нулевая отметка, и выбирают шкалу, начинающуюся с этого нуля. Число у второй стороны показывает градусную меру, потому что транспортир сравнивает поворот с делениями от 0° до 180°.

Вид угла определяют по его градусной мере, а не только по внешнему виду. Угол меньше 90° называют острым, ровно 90° — прямым, между 90° и 180° — тупым, а равный 180° — развёрнутым. Сравнивая два угла, сравнивают их градусные меры: большее число означает больший угол.

Виды углов по градусной мере

Чтобы воспользоваться таблицей, сначала найдите градусную меру угла. Затем сравните её с 90° и 180° и выберите подходящую строку. Например, угол 120° больше 90° и меньше 180°, поэтому он тупой.

Разбор задач

Обозначение угла

На рисунке лучи OA и OB образуют угол. Нужно записать его обозначение, используя буквы O, A и B. Общая начальная точка лучей определяет вершину.

1. Определяем общую начальную точку лучей OA и OB: это O.
2. Ставим букву вершины O в середину обозначения.
3. Буквы A и B записываем по краям, потому что они лежат на сторонах угла.

Ответ: угол можно обозначить как ∠AOB или ∠BOA. Оба варианта правильны, так как в них средней буквой является O.

Измерение и определение вида

Нужно измерить транспортиром угол на рисунке и определить его вид. Сам рисунок может быть наклонён, поэтому ориентироваться только на внешний вид нельзя.

1. Помещаем центр транспортира точно в вершину угла.
2. Совмещаем нулевую отметку выбранной шкалы с одной стороной угла.
3. Считываем число у второй стороны и сравниваем его с 90° и 180°.

Например, если получено 60°, угол острый, потому что 60° меньше 90°. Если получилось 90°, угол прямой, а результат от 90° до 180° указывает на тупой угол.

Биссектриса угла 76°

Угол AOB равен 76°, а луч OC — его биссектриса. Требуется найти углы AOC и COB. Поскольку биссектриса делит исходный угол на равные части, неизвестные углы имеют одинаковую величину.

1. Записываем свойство биссектрисы: ∠AOC = ∠COB.
2. Делим градусную меру всего угла на 2: 76° : 2 = 38°.
3. Присваиваем полученное значение каждой из двух равных частей.

Ответ: ∠AOC = 38° и ∠COB = 38°. Проверка: 38° + 38° = 76°, значит, части составляют исходный угол.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать углом только два луча и забывать о части плоскости между ними. Так можно выбрать не ту область, особенно если лучи образуют несколько возможных поворотов. Проверьте себя: мысленно закрасьте рассматриваемую часть плоскости и убедитесь, что она соответствует условию.

Вторая ошибка — записывать вершину не в середине обозначения. Её допускают, когда смотрят на буквы как на обычное перечисление точек. Проверьте, что средняя буква обозначает общее начало двух лучей, например в ∠AOB вершина — O.

Третья ошибка — неправильно прикладывать транспортир или читать не ту шкалу. Если центр смещён от вершины либо отсчёт начат не с нуля, результат будет неверным. Перед чтением проверьте одновременно положение центра и совпадение нулевой отметки со стороной.

Четвёртая ошибка — путать острый, прямой и тупой угол по внешнему виду. Особенно легко ошибиться у наклонного рисунка. Сравните измеренную величину сначала с 90°, затем со 180°: это надёжнее зрительной оценки.

Связь с другими темами

• Перед изучением углов нужно знать, что такое точка, прямая и луч, а также уметь пользоваться линейкой. Эти знания помогают правильно изображать стороны угла и находить его вершину.
• Измерение углов понадобится при построении геометрических фигур и изучении треугольников. По углам можно описывать форму фигуры и проверять правильность построения.
• Понятие угла используется при изучении перпендикулярных и параллельных прямых. Например, перпендикулярные прямые образуют прямые углы.

Что запомнить

• Угол образуют два луча с общим началом.
• Общее начало лучей — вершина угла.
• В обозначении угла тремя буквами вершина стоит посередине.
• Градусную меру угла измеряют транспортиром.
• Прямой угол равен 90°, развёрнутый — 180°.
• Биссектриса делит угол на два равных угла.