4.1. Общие воспоминания об углах

Определения и обозначения

Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Общее начало называют вершиной, а лучи — сторонами угла. Это определение помогает правильно читать чертёж и отличать угол от отрезка.

Обозначение угла — его имя, записанное одной или тремя буквами. Одной буквой называют угол, если у вершины изображён только один угол, а при обозначении тремя буквами букву вершины ставят в середине, например ∠ABC. Такое правило помогает понять, какие именно стороны образуют угол.

Градусная мера угла — число, показывающее величину угла. Полный оборот разделён на 360 градусов, а градус обозначают знаком °. По градусной мере сравнивают углы и определяют их вид.

Биссектриса угла — луч, выходящий из его вершины и делящий угол на два равных угла. Она нужна, когда угол требуется разделить пополам или найти его части. Поэтому градусные меры углов по разные стороны биссектрисы одинаковы.

Как это устроено

Угол возникает, когда из одной точки проводят два луча. Их общая начальная точка становится вершиной, потому что оба луча начинаются именно там, а сами лучи задают направление сторон. Пространство между сторонами и рассматривают как угол, поэтому для его задания нужны оба луча.

Если около вершины изображён только один угол, его можно назвать одной буквой. Если рядом находятся несколько углов, одной буквы недостаточно: непонятно, о каком из них идёт речь. Тогда используют три буквы, причём средняя буква указывает вершину, а крайние — точки на сторонах.

Чтобы измерить угол, используют транспортир, потому что на его шкале заранее отмечены градусные деления. Центр прибора совмещают с вершиной, а нулевую отметку — с одной стороной: тогда шкала отсчитывает поворот от этой стороны. Если начать отсчёт не от нуля или выбрать не ту шкалу, получится мера другого угла.

Величина угла не зависит от длины изображённых сторон. При удлинении лучей их направления сохраняются, поэтому размах между ними остаётся прежним. Значит, маленький и большой по размеру рисунки могут изображать углы одной и той же величины.

Биссектриса проходит из вершины между сторонами и делит общий размах пополам. Поэтому углы, которые она образует со сторонами, равны, а сложение их мер даёт меру исходного угла. Например, две части по 37° составляют 74°.

Виды углов по градусной мере

Чтобы определить вид угла, сначала найдите его градусную меру, а затем сравните её с 90° и 180°. Границы входят только в названия прямого и развёрнутого углов: 90° — это прямой угол, а 180° — развёрнутый.

Если угол дан на чертеже без числа, его можно приблизительно сравнить с прямым углом. Для точного определения измерьте его транспортиром.

Разбор задач

Построение угла 45°

Условие: постройте угол величиной 45° с помощью транспортира и обозначьте его тремя буквами.

1. Проведите луч BA. Точка B будет вершиной будущего угла.
2. Поставьте центр транспортира в точку B, а нулевую отметку совместите с лучом BA.
3. На нужной шкале найдите деление 45° и поставьте там точку C.
4. Проведите из B луч BC через отмеченную точку. Угол обозначается ∠ABC, потому что B стоит в середине.

Ответ: построен угол ∠ABC = 45°.

Определение вида угла

Условие: угол ABC равен 128°. Определите, острый он, прямой, тупой или развёрнутый.

1. Сравните 128° с 90°: 128° больше 90°.
2. Сравните 128° со 180°: 128° меньше 180°.
3. Значит, мера находится между 90° и 180°, что соответствует тупому углу.

Ответ: угол ABC тупой.

Угол, разделённый биссектрисой

Условие: биссектриса делит угол на два угла по 37°. Найдите меру исходного угла и определите его вид.

1. Биссектриса образует две части, поэтому исходный угол равен их сумме.
2. Вычислите: 37° + 37° = 74°.
3. Сравните 74° с 90°: число меньше 90°, но больше 0°, значит, угол острый.

Ответ: исходный угол равен 74° и является острым.

Типичные ошибки

Иногда сторонами считают отрезки конечной длины, потому что на рисунке лучи выглядят ограниченными. Но угол образуют именно лучи; проверьте, что они мысленно продолжаются в одном направлении за пределы чертежа.

При записи трёх букв ученики порой ставят вершину не в середину. Из-за этого обозначение может назвать другой угол или стать непонятным. Проверьте: средняя буква всегда должна обозначать общую начальную точку сторон.

Ошибка при измерении возникает, если центр транспортира не совпал с вершиной или отсчёт начат не от нулевой отметки. Перед чтением шкалы проверьте обе эти позиции и убедитесь, что выбрали шкалу, начинающуюся от совмещённой стороны.

Тупой угол иногда путают с острым, а угол 90° ошибочно называют тупым. Сначала сравните число с 90° и 180°: меньше 90° — острый, ровно 90° — прямой, между 90° и 180° — тупой.

Связь с другими темами

До изучения углов нужно знать точку, луч, прямую и правила обозначения геометрических фигур буквами. Эти понятия помогают читать записи и строить стороны угла.

Градусная мера понадобится при изучении смежных и вертикальных углов, а также треугольников. Биссектриса связывает тему с геометрическими построениями и задачами на деление угла на равные части.

Что запомнить

• Угол образован двумя лучами с общим началом.
• Общее начало лучей называется вершиной угла.
• Градусную меру угла измеряют транспортиром.
• Длина сторон на величину угла не влияет.
• Прямой угол равен 90°, развёрнутый — 180°.
• Биссектриса делит угол на два равных угла.