"Математика. Наглядная геометрия", Ходот Т.Г., Ходот А.Ю.
Перпендикулярность показывает, что две прямые пересекаются под прямым углом. Это свойство помогает точно строить фигуры, находить расстояние от точки до прямой и определять высоты треугольников. Перпендикуляр обозначают знаком ⟂, а расстоянием считают длину именно перпендикуляра, а не любого отрезка до прямой. Через заданную точку к данной прямой можно провести только один перпендикуляр.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Перпендикулярность прямых — отношение двух прямых, которые пересекаются под прямым углом. Иначе говоря, прямые должны встретиться так, чтобы между ними получился угол в 90°. Это понятие нужно, чтобы точно описывать взаимное положение прямых, а не просто говорить, что они пересекаются.
Перпендикулярные прямые — прямые, образующие при пересечении четыре прямых угла; их обозначают a ⟂ b. Эту запись читают: «a перпендикулярна b». Знак ⟂ показывает именно перпендикулярность, поэтому его не следует путать со знаком параллельности.
Перпендикуляр — отрезок, луч или прямая, пересекающие другую прямую под прямым углом. Когда из точки к прямой проводят такой отрезок, его называют перпендикуляром, опущенным из точки. Понятие помогает отличить направление под прямым углом от любого другого направления.
Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, проведённого из точки к этой прямой. Например, если длина такого отрезка равна 4 см, расстояние тоже составляет 4 см. Это определение нужно, чтобы одинаково находить кратчайшее расстояние от точки до прямой.
Когда две прямые пересекаются, они образуют четыре угла. Соседние углы вместе составляют развёрнутый угол, то есть 180°, а вертикальные углы равны. Если прямые пересеклись под прямым углом, один угол равен 90°, соседний равен 180° − 90° = 90°, а два оставшихся вертикальны этим углам. Поэтому все четыре угла прямые.
Чтобы проверить перпендикулярность, достаточно измерить один из углов при пересечении прямых. Если он равен 90°, прямые перпендикулярны: соседний угол тоже будет прямым, поскольку сумма соседних углов равна 180°. Остальные углы равны им как вертикальные. Если угол не прямой, одного факта пересечения недостаточно, чтобы назвать прямые перпендикулярными.
Запись a ⟂ b означает, что прямая a перпендикулярна прямой b. Буквами a и b обычно обозначают сами прямые, а знак ⟂ — их связь: они пересекаются под углом 90°. Такая запись короче словесного объяснения, но не означает, что одна прямая больше или равна другой.
Через заданную точку к данной прямой можно провести единственную перпендикулярную прямую. Это связано с тем, что направление под прямым углом к уже заданной прямой определяется однозначно: поверни прямую на 90° — и получишь нужное направление. Поэтому нельзя провести через ту же точку две разные прямые, каждая из которых образует с исходной прямой прямой угол.
Для построения угольником совмести одну его сторону с данной прямой, а другую направь через заданную точку; проведи по ней линию. Угольник помогает получить угол 90°, потому что его соответствующий угол прямой. Если точка расположена вне прямой, продолжи построенную линию до пересечения с прямой: полученный отрезок будет перпендикуляром. Его длина и есть расстояние от точки до прямой, а любой наклонный отрезок до прямой длиннее.
| Понятие | Определение | Обозначение | Главное свойство |
|---|---|---|---|
| Перпендикулярные прямые | Пересекаются под прямым углом | a ⟂ b | Образуют четыре угла по 90° |
| Перпендикуляр | Отрезок, луч или прямая, пересекающие прямую под прямым углом | Знак ⟂ для прямых | Перпендикулярный отрезок короче наклонного |
| Прямой угол | Угол величиной 90° | 90° | Соседние углы при пересечении в сумме дают 180° |
| Расстояние от точки до прямой | Длина перпендикуляра из точки к прямой | Число с единицей длины | Равно длине перпендикуляра |
| Построение перпендикуляра | Проведение через точку прямой, образующей 90° с данной | a ⟂ b | Через точку проходит единственный такой перпендикуляр |
Сначала найди в таблице нужное понятие, затем сопоставь его определение с условием задачи. Столбец «Главное свойство» помогает быстро проверить рассуждение или результат построения. Для расстояния смотри на длину перпендикуляра, а не на любой отрезок до прямой.
Задача 1. Среди нескольких пар пересекающихся прямых нужно определить перпендикулярные и записать обозначения. Проверяем не только то, что прямые пересекаются, но и величину угла между ними. Если на чертеже нет отметки прямого угла, угол можно измерить угольником или транспортиром.
Ответ: перпендикулярны только пары, в которых найден прямой угол; для них записывают a ⟂ b. Если угол не равен 90°, пару в ответ не включают. Так мы проверяем определение, а не угадываем по виду рисунка.
Задача 2. Построить через заданную точку перпендикуляр к данной прямой с помощью линейки и угольника. Угольник нужен, чтобы задать прямой угол, а линейка — чтобы провести ровную линию. Если точка не лежит на прямой, линию следует продолжить до неё.
Ответ: проведённая линия перпендикулярна данной прямой. Проверь, что угольник не сдвинулся во время проведения линии и его сторона действительно проходила через заданную точку. По построению угол пересечения равен 90°.
Задача 3. Из точки вне прямой проведён перпендикуляр длиной 4 см. Нужно найти расстояние от точки до прямой и определить длину наклонного отрезка, если она равна 7 см. В условии уже указано, какой из отрезков перпендикулярный. Наклонный отрезок не является расстоянием до прямой.
Ответ: расстояние от точки до прямой равно 4 см, длина наклонного отрезка — 7 см. Наклонный отрезок длиннее перпендикуляра, потому что перпендикуляр является кратчайшим путём от точки к прямой. Поэтому расстояние нельзя найти по длине любого другого отрезка.
Ошибка: считать перпендикулярными любые пересекающиеся прямые. Так можно решить по одному лишь факту пересечения, не проверив угол. Убедись, что угол равен 90°: приложи угольник или измерь его транспортиром; только тогда ставь знак ⟂.
Ошибка: путать перпендикулярные прямые с параллельными. Параллельные прямые не пересекаются, а перпендикулярные обязательно пересекаются под прямым углом. Проверь, встречаются ли прямые, и только потом оцени угол между ними.
Ошибка: назвать расстоянием длину любого отрезка от точки до прямой. Так происходит, когда забывают условие о прямом угле и выбирают просто видимый отрезок. Найди отрезок, образующий с прямой 90°: его длина и будет расстоянием, а наклонный отрезок окажется длиннее.
Ошибка: записывать перпендикулярность как равенство или путать знак ⟂ со знаком параллельности. Равенство сравнивает величины, а запись a ⟂ b сообщает, что прямые пересекаются под прямым углом. Перед записью прочитай её словами и проверь знак: для параллельности используют другой символ, ∥.
Перед изучением перпендикулярности полезно знать виды углов и помнить, что прямой угол равен 90°. Также нужны свойства углов при пересечении прямых и умение пользоваться линейкой с угольником. Перпендикулярность пригодится при поиске расстояний, построении высот треугольника и работе с прямоугольными фигурами и координатной плоскостью. Она связана и с параллельностью: иногда параллельные прямые строят с помощью двух перпендикуляров к одной прямой.
Как доказать, что две прямые перпендикулярны?
Нужно показать, что при их пересечении образуется прямой угол, то есть угол величиной 90°. Если один из углов равен 90°, то и остальные три тоже прямые, поэтому прямые перпендикулярны.
Чем перпендикуляр отличается от любого отрезка, соединяющего точку с прямой?
Перпендикуляр пересекает прямую под прямым углом, а другой отрезок может быть наклонён к ней. Перпендикуляр имеет наименьшую длину среди отрезков от точки до этой прямой.
Можно ли провести через одну точку два перпендикуляра к одной прямой?
Нет, можно провести только один. Если бы таких прямых было две, они обе образовали бы прямой угол с данной прямой, но через точку к прямой проходит единственная перпендикулярная ей прямая.
Как построить перпендикуляр без угольника?
Можно построить его циркулем и линейкой: на прямой отметь две точки, равноудалённые от заданной точки, а затем построй середину отрезка между ними. Прямая через заданную точку и эту середину будет перпендикулярна исходной прямой.
Почему при пересечении перпендикулярных прямых получается четыре прямых угла?
При пересечении образуются четыре угла, а каждый угол вместе с соседним составляет 180°. Если один угол равен 90°, соседний тоже равен 90°, а вертикальный ему угол равен ему; значит, все четыре угла прямые.
4.2. Перпендикулярность
