Углы

Определения и обозначения

Угол — фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки. Луч начинается в точке и продолжается в одном направлении, поэтому его можно представить как часть прямой с началом. Это определение помогает понять, какие линии образуют угол и где именно его искать.

Вершина угла — общая начальная точка двух лучей. Она служит местом, из которого расходятся стороны угла. Найти вершину нужно, чтобы правильно назвать угол и разместить транспортир при измерении.

Стороны угла — лучи, образующие угол. Они задают направления, между которыми находится угол. Если обозначить стороны буквами, станет легче описать угол словами, записать его название и сравнить с другим.

Градус — единица измерения величины угла; его обозначают знаком °. Например, запись 45° означает, что величина угла составляет сорок пять градусов. Эта единица позволяет не только описывать угол, но и сравнивать результаты измерений.

Как это устроено

Чтобы получить угол, проводят из одной точки два луча. Их общая начальная точка становится вершиной, а сами лучи — сторонами. Именно общее начало объединяет лучи в одну фигуру: если начальные точки разные, такого угла между ними не образуется.

Угол можно обозначить тремя заглавными буквами, например ∠ABC. Средняя буква B указывает вершину, а A и C называют точки на разных сторонах угла. Положение букв важно: оно помогает не перепутать вершину со сторонами, особенно если рядом изображено несколько углов. Если у вершины стоит одна буква и путаницы нет, можно обозначить угол только этой буквой.

Величину угла измеряют транспортиром, потому что глаз не позволяет точно определить число градусов. Сначала центр прибора совмещают с вершиной, а нулевую линию — с одной стороной: так шкала отсчитывает величину от начала угла. Затем находят место, где вторую сторону пересекает шкала, и читают подходящее число. У транспортира часто две шкалы, поэтому нужно выбрать ту, где отсчёт начинается от совмещённой с лучом нулевой отметки.

Углы удобно различать, сравнивая их с прямым углом. Прямой угол равен 90°, и он служит ориентиром: если угол меньше него, угол острый; если больше — он может быть тупым или развёрнутым. Тупой угол больше 90°, но меньше 180°, поэтому он не доходит до прямой линии. Такое сравнение помогает определить вид угла, даже если его величина не указана.

Развёрнутый угол образуется, когда его стороны являются противоположными лучами. Они лежат на одной прямой и направлены в разные стороны, поэтому угол между ними составляет 180°. Это наибольший из перечисленных здесь видов углов; сравнение с ним помогает отличить тупой угол от развёрнутого.

Виды углов по величине

Сначала найди в таблице сравнение с прямым углом, а затем проверь величину в градусах. Если угол больше 90°, выясни, меньше ли он 180° или равен этому числу. Последний столбец помогает представить вид угла, но точную величину определяют измерением.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке отмечены два луча с общей точкой O. Назови вершину и стороны образованного угла. Из условия известно, что лучи начинаются в O. Нужно определить, как называется эта общая точка и как назвать каждый луч.

1. Найди точку, из которой выходят оба луча.
2. Так как общей начальной точкой является O, это вершина угла.
3. Назови стороны по их начальным точкам: это два луча, выходящие из O. Если у них есть дополнительные обозначения, назови каждый луч по этим обозначениям.

Ответ: вершина — точка O; стороны — оба луча с началом в O. Общая точка относится сразу к обеим сторонам, а не только к одной из них. Поэтому при проверке убедись, что названная вершина является началом обоих лучей.

Задача 2. Измерь угол транспортиром и запиши его величину в градусах. Для решения нужны сам угол и транспортир; численное значение заранее не дано. Поэтому сначала следует правильно расположить прибор, а потом прочитать шкалу.

1. Поставь центр транспортира точно на вершину угла.
2. Совмести нулевую линию с одной стороной угла.
3. Посмотри, где вторая сторона пересекает шкалу, и выбери отсчёт, начинающийся с нуля у совмещённой стороны.
4. Запиши прочитанное число и знак градуса: например, если шкала показывает 60, запиши 60°.

Ответ: величина угла равна числу градусов, которое показала шкала транспортира. Точное число можно записать только после измерения данного угла. Для проверки повторно оцени, не перепутана ли шкала и совпадает ли центр прибора с вершиной.

Задача 3. Угол равен 125°. Определи, к какому виду он относится, и объясни почему. Для этого сопоставь число с величинами прямого и развёрнутого углов. Такой способ подходит и для других углов, если их величина известна.

1. Сравни 125° с 90°: 125° больше, значит угол не острый и не прямой.
2. Сравни 125° со 180°: 125° меньше, значит угол не развёрнутый.
3. Сделай вывод по промежутку: угол больше 90°, но меньше 180°.

Ответ: угол тупой, потому что 90° < 125° < 180°. При классификации важно проверить обе границы, иначе можно спутать тупой угол с развёрнутым. Величина сама по себе даёт ответ без рисунка.

Типичные ошибки

Иногда вершиной называют конец только одной стороны. Так происходит, когда смотрят на один луч и не проверяют, откуда начинается второй. Найди точку, которая является началом обоих лучей: именно она и есть вершина.

При обозначении угла тремя буквами букву вершины иногда ставят первой или последней. Причина — буквы перечисляют по порядку, не учитывая роль точки. Проверь среднюю букву: она должна называть вершину, например в ∠ABC вершиной является B.

Неверное измерение получается, если центр транспортира не стоит на вершине или нулевая линия не совпадает со стороной. При таком положении шкала отсчитывает не величину нужного угла. Перед чтением числа проверь обе установки, а после измерения убедись, что выбрана шкала с нулём у совмещённой стороны.

Острый угол могут принять за тупой, если судить только по виду рисунка. Рисунок не всегда выполнен точно, поэтому лучше сравнить величину с прямым углом. Проверь число: острый меньше 90°, а тупой больше 90° и меньше 180°.

Связь с другими темами

До изучения углов нужно уметь распознавать луч и находить общую начальную точку двух лучей. Эти знания нужны, чтобы верно выделить вершину и стороны фигуры. Если не определить начало лучей, можно неверно описать угол.

Измерение и сравнение углов пригодится при изучении треугольников и других геометрических фигур. В таких задачах важно видеть, как углы связаны с формой фигуры. Умение пользоваться транспортиром помогает получать точные данные.

Понятие угла используют при построении фигур и решении задач на геометрические измерения. Углы помогают задавать направления и проверять построения. Поэтому навык их обозначения и измерения применяется не только в заданиях о самих углах.

Что запомнить

• Угол образуют два луча с общей начальной точкой.
• Общая точка лучей — вершина угла.
• Градус — единица измерения угла; его обозначают знаком °.
• Прямой угол равен 90°.
• Острый угол меньше 90°, тупой — больше 90°, но меньше 180°.
• Развёрнутый угол равен 180°.
• При обозначении угла тремя буквами буква вершины стоит посередине.