Углы

Определения и обозначения

Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами с общей начальной точкой. Лучи расходятся от неё в разные стороны, поэтому между ними можно представить поворот. Понятие угла помогает описывать форму фигур и положение предметов.

Вершина угла — общая начальная точка его сторон. Стороны угла — два луча, образующие угол. Вершина нужна, чтобы определить, откуда начинается угол, а стороны показывают направление его раскрытия.

Угол обозначают буквой вершины или тремя буквами, например ∠B или ∠ABC. Если букв три, буква вершины стоит посередине. Такое обозначение помогает понять, какой именно угол имеют в виду, особенно когда рядом изображено несколько углов.

Градусная мера угла — число градусов, показывающее величину угла; её измеряют транспортиром. Градусы записывают с маленьким кружком: например, 60°. Градусная мера нужна, чтобы точно сравнивать углы, а не только оценивать их на глаз.

Как это устроено

Чтобы получить угол, проведи из одной точки два луча. Их общая начальная точка остаётся одной и той же, а лучи задают два направления. Эта точка называется вершиной, потому что от неё расходятся стороны угла.

Один и тот же угол можно обозначить одной или тремя буквами. Одной буквы достаточно, если на рисунке ясно, о какой вершине идёт речь. Если углов возле вершины несколько, используют три буквы: средняя указывает вершину, а крайние — стороны, между которыми рассматривают угол.

Величина угла показывает, насколько одна сторона повернута относительно другой. Представь, что одна сторона неподвижна, а вторая поворачивается вокруг вершины: чем дальше она повернётся, тем больше будет угол. Поэтому, если стороны нарисовать длиннее, величина не изменится — направления лучей останутся прежними.

Для измерения положи транспортир так, чтобы его центр совпал с вершиной угла. Основание транспортира должно лечь вдоль одной стороны, а отметка 0° — оказаться у этой стороны. Найди деление, через которое проходит вторая сторона, и прочитай число на шкале, начинающейся с совмещённого нуля.

Полученную градусную меру сравнивают с 90° и 180°. Угол меньше 90° называют острым, равный 90° — прямым, а угол больше 90°, но меньше 180° — тупым. Если стороны образуют одну прямую и угол равен 180°, он называется развёрнутым.

Виды углов

Сначала найди градусную меру угла, затем сравни её с 90° и 180°. Например, 70° меньше 90°, значит, угол острый, а 110° больше 90°, но меньше 180°, значит, он тупой. Для развёрнутого угла нужно получить ровно 180°.

Разбор задач

Назвать вершину и стороны угла ABC, изображённого лучами BA и BC

Условие: угол ABC образован лучами BA и BC. Нужно назвать его вершину и стороны. Сравни обозначение угла с обозначениями лучей, чтобы не перепутать общую точку с концами лучей.

1. Найди общую начальную точку лучей BA и BC: оба луча начинаются в точке B.
2. Назови точку B вершиной угла, потому что именно она является общей начальной точкой сторон.
3. Запиши стороны угла: это луч BA и луч BC.

Ответ: вершина угла — B, стороны — лучи BA и BC. Средняя буква в обозначении ABC совпадает с вершиной. Это подтверждает, что обозначение прочитано правильно.

Измерить угол и определить его вид, если получена мера 65°

Условие: при измерении угла транспортиром получено 65°. Нужно определить вид угла. Для этого сравним его меру с мерой прямого угла — 90°.

1. Проверь расположение транспортира: его центр должен быть на вершине, ноль — на одной стороне, а вторая сторона должна указывать на деление 65°.
2. Сравни числа: 65° меньше 90°.
3. По признаку из таблицы сделай вывод: угол, который меньше прямого, является острым.

Ответ: угол равен 65° и является острым. Если показание кажется неожиданным, проверь, от нуля ли прочитана шкала. Иногда другая шкала даёт число, дополняющее правильную меру до 180°.

Построить угол 120° и определить его вид

Условие: нужно построить угол с мерой 120°, обозначить вершину и стороны, а затем назвать его вид. Начни с луча: от него транспортиром удобно откладывать заданный поворот. После построения проверь результат сравнением с прямым углом.

1. Отметь точку O — будущую вершину — и проведи из неё луч OA.
2. Поставь центр транспортира в точку O, совмести нулевую отметку с лучом OA и найди на подходящей шкале деление 120°.
3. Поставь отметку у деления 120° и проведи из O через эту отметку второй луч OB.
4. Обозначь угол как AOB. Сравни 120° с 90° и 180°: число больше 90°, но меньше 180°.

Ответ: построен угол AOB с вершиной O и сторонами OA и OB; это тупой угол. Если после построения измерение показывает другое число, проверь совмещение центра и выбор шкалы. Стороны должны выходить из одной точки O.

Типичные ошибки

Иногда вершиной называют любую точку на стороне угла. Так происходит, когда смотрят только на нарисованные лучи и не проверяют, откуда они начинаются. Чтобы проверить себя, найди общую начальную точку обоих лучей: только она является вершиной.

При чтении транспортира можно выбрать шкалу, которая начинается не от совмещённого нуля. Тогда получится другое число, часто дополняющее правильную меру до 180°. Перед отсчётом проверь, где стоит 0°, и считай деления от него в сторону второй стороны угла.

Если центр транспортира не совпал с вершиной или нулевая отметка не легла на сторону, измерение будет неверным. Такую ошибку допускают, когда торопятся и сразу смотрят на деления. Проверь оба совмещения: центр с вершиной и ноль со стороной, затем прочитай значение ещё раз.

Угол иногда считают большим из-за длинных сторон или маленьким из-за коротких. Длина нарисованных лучей не определяет величину: важен только поворот между направлениями сторон. Для проверки сравни угол с прямым или измерь его транспортиром, не обращая внимания на длину лучей.

Связь с другими темами

Перед изучением углов пригодятся понятия точки, прямой, луча и отрезка. Умение сравнивать величины поможет понять, какой угол больше, а работа с транспортиром потребует аккуратности. Углы встречаются при изучении многоугольников: они помогают описывать форму фигур, периметр и площадь которых рассматривают дальше.

Транспортир используют вместе с линейкой, когда строят геометрические фигуры. По линейке проводят стороны, а по транспортиру задают нужный поворот между ними. Эти умения пригодятся при построении фигур с заданными углами и сторонами.

Что запомнить

• Угол образуют два луча с общей начальной точкой.
• Общая начальная точка лучей называется вершиной угла.
• Два луча, образующие угол, называются его сторонами.
• Угол обозначают одной буквой вершины или тремя буквами.
• Величину угла измеряют в градусах транспортиром.
• Прямой угол равен 90°; острый угол меньше 90°, тупой больше 90° и меньше 180°.
• Развёрнутый угол равен 180°.