Линия, отрезок, луч

Определения и обозначения

Линия — прямая линия, которая не имеет ни начала, ни конца и продолжается в обе стороны. На рисунке можно показать только часть линии, поэтому с двух сторон рисуют стрелки. Они напоминают, что линия не заканчивается у края чертежа. Это понятие нужно, чтобы описывать прямое направление, продолжающееся дальше нарисованного участка.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками; эти точки называются концами отрезка. Чтобы его получить, на прямой отмечают две точки и рассматривают часть между ними вместе с самими точками. Отрезок обозначают двумя заглавными буквами, поставленными у концов: например, AB. Такое обозначение помогает понять, какие именно точки ограничивают отрезок, и отличить его от других отрезков.

Луч — часть прямой, у которой есть начало, но нет конца; он продолжается в одну сторону. Начало отмечают точкой, а с другой стороны ставят стрелку. Луч обозначают двумя заглавными буквами: первая указывает начало, а вторая — точку, через которую он направлен. Это нужно, чтобы не перепутать лучи, выходящие из одной точки в разные стороны.

Как это устроено

На рисунке линия ограничена размером листа, хотя сама она не имеет концов. Поэтому на обоих её краях ставят стрелки: каждая показывает, что линия продолжается дальше. У отрезка вместо стрелок отмечают две конечные точки, потому что его длина ограничена именно ими. У луча точка показывает начало, а стрелка — продолжение только в одну сторону.

Чтобы получить отрезок на прямой, сначала выбирают две точки и отмечают их. Затем рассматривают не всю прямую, а только её часть между выбранными точками, включая сами точки. Если убрать точки, станет неясно, где эта часть начинается и где заканчивается. Поэтому концы отрезка обязательно входят в отрезок и показываются на чертеже.

Если на прямой отметить точку O, она разделит прямую на две части, уходящие от неё в разные стороны. Каждая такая часть с точкой O образует луч. Один луч можно представить направленным через точку A, а другой — через точку B. Они начинаются одинаково, но направления у них противоположные, поэтому это разные лучи.

Отрезок AB называют по двум буквам, потому что обе его точки являются концами. Луч называют тоже двумя буквами, но порядок здесь особенно важен: сначала пишут начало. Например, OA означает луч с началом O, проходящий через A. Если поменять буквы местами, получится луч с началом A, а это уже другая фигура.

Сравнивая фигуры, проверь, какие отметки стоят на их концах. Две стрелки означают, что линия продолжается в обе стороны и не имеет ни начала, ни конца. Две точки ограничивают отрезок, а одна точка вместе со стрелкой показывает луч. Стрелки указывают продолжение, а точки помогают увидеть начало или конец фигуры.

Чем отличаются линия, отрезок и луч

Сначала найди на рисунке стрелки и отмеченные точки. Затем проверь, с какой стороны фигура продолжается и ограничена ли она точками. Такая проверка помогает определить фигуру, даже если чертёж нарисован не в обычном положении.

Разбор задач

Задача 1

На рисунке изображены три фигуры: у первой стрелки с двух сторон, у второй отмечены две конечные точки, у третьей есть начальная точка и стрелка. Назови каждую фигуру. Для ответа нужно сопоставить отметки на рисунке с признаками фигур, а не ориентироваться на то, как они расположены на странице.

1. У первой фигуры стрелки стоят с двух сторон. Значит, она продолжается в обе стороны и не имеет концов.
2. У второй фигуры отмечены две точки, которые ограничивают часть прямой. Это отрезок.
3. У третьей фигуры есть точка, откуда она начинается, и стрелка с другой стороны. Это луч.

Ответ: первая фигура — линия, вторая — отрезок, третья — луч.

Задача 2

Отметь точки A и B и проведи отрезок AB. Обозначь его концы и назови отрезок. Здесь важно не просто провести прямую через две точки: нужно оставить только часть между ними. Точки A и B должны остаться на чертеже, потому что они входят в отрезок и задают его границы.

1. Поставь две точки и подпиши одну заглавной буквой A, другую — B.
2. Проведи прямую часть от A до B, не продолжая её за точки.
3. Проверь, что обе точки отмечены и стрелок у фигуры нет.
4. Назови фигуру по буквам её концов: отрезок AB. Его можно назвать и отрезком BA, потому что обе буквы обозначают концы.

Ответ: проведён отрезок AB с концами A и B.

Задача 3

Из точки O проведены два луча через точки A и B в противоположные стороны. Запиши названия лучей и объясни, почему лучи OA и OB разные. Для названия луча нужно сначала выяснить его начало, затем определить, через какую точку он идёт. Оба луча начинаются в O, но указанные точки задают разные направления.

1. У первого луча начало — точка O, а на его направлении лежит точка A. Поэтому его называют лучом OA.
2. У второго луча начало также O, но он проходит через точку B. Поэтому его называют лучом OB.
3. Точки A и B расположены в противоположных направлениях от O. Значит, лучи идут в разные стороны и не совпадают.

Ответ: это лучи OA и OB; они разные, потому что из общей точки O направлены в противоположные стороны.

Типичные ошибки

Можно решить, что у линии есть концы, потому что на листе видны её края. Ошибка появляется, если принять край рисунка за часть самой фигуры. Проверь, есть ли на краях стрелки: они показывают продолжение линии за пределы чертежа. Поэтому у линии нет начала и конца.

Иногда отрезком называют часть линии, но не отмечают её концы. Так бывает, когда ученик замечает только прямую часть между точками. Проверь, поставлены ли две точки и входят ли они в изображённую фигуру. Отрезок обязательно ограничен двумя концами.

Луч легко перепутать с отрезком, если увидеть только начальную точку и не заметить стрелку. Однако у отрезка есть два конца, а луч продолжается дальше в одну сторону. Проверь второй край: точка ограничивает отрезок, а стрелка у луча означает продолжение. У луча есть начало, но нет конца.

В названии луча можно по ошибке поставить первой букву точки, через которую он проходит. Путаница возникает потому, что используются две буквы, как и для отрезка. Чтобы проверить себя, найди начало луча на чертеже и поставь его букву первой. Например, если луч начинается в O и проходит через A, правильно писать OA.

Связь с другими темами

Перед изучением этих фигур нужно уметь различать точку и прямую, находить их на чертеже и обозначать точки заглавными буквами. Отрезки понадобятся, когда вы будете измерять длину и строить геометрические фигуры: именно у отрезка есть два определённых конца. Лучи встретятся при изучении угла. Стороны угла — это лучи, выходящие из одной общей точки.

Что запомнить

• Линия продолжается в обе стороны.
• У отрезка два конца.
• У луча есть начало, но нет конца.
• Стрелки показывают, что фигура продолжается дальше.
• Отрезок называют по двум его концам.
• В названии луча первой пишут букву его начала.