Геометрический материал (повторение)

Определения и обозначения

Точка — это точное место на плоскости, которое отмечают маленьким следом карандаша или ручки. Рядом с ней пишут большую букву: например, точка А. Буква помогает назвать точку и отличить её от других точек на чертеже. Размер следа не считается размером самой точки.

Прямая — ровная линия, которая продолжается в обе стороны и не имеет концов. На чертеже её проводят линейкой, а её продолжение показывают линией, уходящей за пределы нужного участка. Прямую можно обозначить двумя большими буквами, стоящими на ней, например А и В. Это обозначение помогает указать, о какой прямой идёт речь.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называют концами отрезка, а расстояние между ними — его длиной. Отрезок обозначают большими буквами его концов: например, АВ. Зная концы, можно точно показать нужную часть линии и измерить её.

Угол — фигура, образованная двумя лучами с общей начальной точкой. Общую точку называют вершиной угла, а лучи — его сторонами. Вершину обозначают большой буквой или точкой на чертеже; например, угол может иметь вершину О. Это позволяет показать, где сходятся стороны и какую фигуру называют углом.

Как это устроено

Чтобы поставить точку и провести через неё прямую, сначала отметь точку карандашом и назови её, например А. Затем приложи линейку так, чтобы её край проходил через отметку. Проведи линию вдоль края линейки и продолжи её в обе стороны от точки. Так делают потому, что прямая не заканчивается в самой точке и не ограничена краем короткого штриха.

Прямая продолжается в обе стороны, потому что у неё нет начальной и конечной точек. На бумаге нельзя провести линию бесконечно, поэтому её изображают только на небольшом участке и мысленно продолжают дальше. У отрезка, напротив, есть два заранее заданных конца. Именно эти точки ограничивают его, поэтому отрезок можно измерить и назвать его длину.

Для измерения отрезка приложи линейку к линии так, чтобы отметка 0 совпала с одним концом. Если начать измерение от другой отметки, например от 1, нужно будет учитывать начальное значение, и легко ошибиться. После совмещения посмотри, на какую отметку приходится второй конец. Расстояние от нуля до этой отметки и будет длиной отрезка.

Чтобы построить угол, сначала отметь его вершину — общую точку будущих сторон. Приложи линейку к вершине и проведи из неё первый луч, затем проведи второй луч из той же точки в другом направлении. Луч начинается в вершине и продолжается от неё в одну сторону. Если стороны начинаются из разных точек, они не образуют угол с общей вершиной.

Треугольник распознают по трём сторонам и трём вершинам, а четырёхугольник — по четырём сторонам и четырём вершинам. Стороны — это отрезки, которые соединяются концами и образуют замкнутую фигуру. Вершины — точки соединения соседних сторон. Чтобы определить фигуру, обойди её по контуру и последовательно посчитай стороны или углы соединения.

Сравнение основных геометрических фигур

Пользуйся таблицей, когда нужно вспомнить, чем фигуры отличаются друг от друга. Сначала посмотри на вид фигуры, затем проверь, есть ли у неё концы или общая вершина. Последний столбец подскажет, какими буквами подписать чертёж.

Разбор задач

Задача 1. Отметить точку А и провести через неё прямую. Нужно показать на чертеже и точку, и линию, проходящую через неё. При этом у линии не должно появиться концов, как у отрезка. Поэтому проведём её заметно дальше точки в обе стороны.

1. Поставь на листе маленькую отметку и подпиши её большой буквой А.
2. Приложи линейку так, чтобы её край проходил через точку А.
3. Проведи вдоль линейки ровную линию по обе стороны от точки.

Ответ: через точку А проведена прямая. Она показана линией, продолжающейся в обе стороны от точки.

Задача 2. Начертить отрезок АВ длиной 4 см и измерить его. Сначала нужно построить отрезок заданной длины, а затем проверить результат линейкой. Начало отсчёта должно совпасть с одним из концов, иначе показание не будет равно длине отрезка. Буквы А и В обозначат концы.

1. Поставь отметку А и приложи к ней линейку так, чтобы А совпала с отметкой 0.
2. Найди отметку 4 см и поставь рядом с ней точку В.
3. Проведи линейкой отрезок от А до В, не продолжая его за концы.
4. Проверь: один конец стоит у 0, а другой — у 4 см.

Ответ: построен отрезок АВ длиной 4 см. При проверке линейкой его длина равна 4 см.

Задача 3. Начертить треугольник, измерить длины его сторон и назвать вершины. Треугольник должен быть замкнутым: каждый отрезок соединяется с соседним концом. Для примера построим треугольник АВС с удобными для измерения сторонами. Длины определяем по линейке, а не на глаз.

1. Поставь точки А и В на расстоянии 4 см друг от друга и соедини их отрезком.
2. Выше отрезка отметь точку С так, чтобы её расстояния до А и В были примерно по 3 см.
3. Соедини точки А и С, затем В и С. Проверь, что фигура замкнулась.
4. Измерь каждую сторону: поставь ноль линейки у одного конца и считай значение у другого.

Ответ: получен треугольник с вершинами А, В и С. Его стороны — АВ, ВС и СА; при построении их длины составляют примерно 4 см, 3 см и 3 см.

Типичные ошибки

Ошибка: называть отрезок прямой. Их легко перепутать, потому что обе фигуры изображают ровной линией. Проверь себя: у отрезка видны два конца, а прямая должна продолжаться за выбранный участок в обе стороны. Если концы ограничивают линию, перед тобой отрезок.

Ошибка: измерять отрезок, начиная не от нулевой отметки линейки. Тогда число у второго конца показывает не длину отрезка, а положение конца относительно выбранного начала. Совмести ноль с одним концом и повтори измерение. Для проверки можно сравнить результат с расстоянием между отметками, у которых стоят оба конца.

Ошибка: ставить вершину угла на одной из его сторон, а не в месте их соединения. Так бывает, когда ученик не прослеживает, откуда начинаются оба луча. Проверь чертёж: стороны должны выходить из одной и той же точки. Эта общая начальная точка и есть вершина угла.

Ошибка: считать стороны и вершины многоугольника как разные количества. У треугольника действительно три и того и другого, поэтому иногда кажется, что это особенность только этой фигуры. Иди по контуру и считай отрезки, а затем отметь точки их соединения. У треугольника получится три стороны и три вершины; эти числа совпадут.

Связь с другими темами

Перед повторением полезно уметь пользоваться линейкой, различать буквы и числа и сравнивать длины. Тогда будет проще подписывать точки и измерять отрезки без ошибки. Эти умения нужны не только в геометрии, но и при работе с чертежами и схемами. Точка, прямая и отрезок пригодятся при изучении координатного луча и решении задач на длину.

Что запомнить

• Точку обозначают большой буквой.
• Прямая не имеет концов.
• Отрезок ограничен двумя концами.
• Длину отрезка измеряют линейкой.
• Угол образуют два луча с общей вершиной.
• У треугольника три стороны и три вершины.