Геометрический материал (повторение)

Определения и обозначения

Точка — это отметка, которая показывает место. Её обозначают заглавной буквой, например А или В. Точка помогает указать, где начинается или заканчивается фигура. По буквам можно понять, какие точки и отрезки названы в условии задачи.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называют концами отрезка, а сам отрезок можно обозначить буквами его концов: отрезок АВ. Он показывает расстояние между двумя местами. В отличие от прямой, у него есть начало и конец.

Угол образован двумя лучами с общим началом. Общая начальная точка называется вершиной угла, а лучи — его сторонами. Например, если лучи начинаются в точке О, то О — вершина. Это понятие помогает находить углы в фигурах и правильно описывать их части.

Многоугольник — замкнутая фигура, составленная из отрезков. Отрезки образуют её стороны, а места их соединения — вершины. Число сторон связано с названием: у треугольника три стороны, у четырёхугольника четыре. По этому признаку можно распознать фигуру и определить, сколько сторон нужно измерить.

Как это устроено

Чтобы провести прямую, приложи линейку к листу и проведи вдоль её края линию. На ней можно отметить точки буквами, например А и В. Если выделить часть линии между А и В, получится отрезок АВ. Прямая продолжается в обе стороны, поэтому её изображение на бумаге условно: оно показывает лишь часть прямой, а не её концы.

Длину отрезка измеряют линейкой, потому что на ней нанесены деления с известным расстоянием между ними. Сначала совмести отметку 0 с одним концом отрезка, а затем посмотри, напротив какого деления оказался второй конец. Если это деление показывает 5, длина равна 5 см. Записывай число вместе с единицей измерения, иначе будет непонятно, что именно измерено.

Чтобы распознать угол на рисунке, найди два луча, которые выходят из одной точки. Эта общая точка — вершина, а части фигуры, уходящие от неё, — стороны угла. Смотри именно на место соединения лучей: оно помогает не принять сторону за вершину. Угол может быть частью многоугольника, поэтому его удобно искать в каждом углу фигуры.

Многоугольник можно распознать по замкнутой линии из отрезков. Пересчитай стороны, двигаясь по границе фигуры по порядку, и проверь, что вернулся к началу. Три стороны означают треугольник, четыре — четырёхугольник; у других многоугольников сторон больше. Вершин у такой фигуры столько же, сколько сторон, потому что каждый отрезок соединяется с соседними в точках-вершинах.

Геометрические фигуры нужны не только для чертежей: их стороны можно измерять, например, у предмета прямоугольной формы. Периметр многоугольника — это общая длина его границы, поэтому для его нахождения складывают длины всех сторон. Каждую сторону нужно учесть, даже если некоторые стороны равны. Такой подсчёт помогает узнать, сколько материала понадобится, чтобы обвести фигуру по краю.

Геометрические фигуры и их признаки

Сначала найди фигуру в первом столбце, затем проверь её признак во втором. Последние столбцы подсказывают, что можно измерить или посчитать и какой инструмент взять. Если сомневаешься, пересчитай стороны и вершины.

Разбор задач

Задача 1. Отметить точки А и В, провести через них прямую и выделить отрезок АВ. Нужно показать, что прямая и отрезок связаны, но отличаются друг от друга. Для этого сначала удобно начертить линию, проходящую через обе отмеченные точки. Затем обозначить, какая её часть является отрезком.

1. Поставь на листе две точки и подпиши их заглавными буквами А и В.
2. Приложи линейку так, чтобы её край проходил через обе точки, и проведи линию в обе стороны.
3. Отметь часть линии от А до В: она ограничена этими двумя точками и называется отрезком АВ.

У прямой нет концов, а у выделенного отрезка есть два конца — А и В. Поэтому одна и та же линия может показывать прямую, а её часть между точками — отрезок. Ответ: прямая проходит через А и В, отрезок АВ ограничен точками А и В.

Задача 2. Измерить отрезок на рисунке и записать длину в сантиметрах. Числовое значение зависит от самого отрезка, поэтому его нужно снять линейкой, а не угадывать. При измерении важно совместить с началом отрезка именно нулевую отметку. Тогда показание у второго конца будет длиной отрезка.

1. Положи линейку рядом с отрезком так, чтобы отметка 0 совпала с одним его концом.
2. Проверь, что линейка не сдвинулась и лежит вдоль отрезка.
3. Найди деление напротив второго конца и прочитай число сантиметров.
4. Запиши результат с единицей измерения, например: длина отрезка — 4 см.

Если начало отрезка не совпало с нулём, нельзя просто записывать число у второго конца: нужно узнать расстояние между двумя показаниями. В обычном измерении от нулевой отметки число у второго конца сразу показывает длину. Ответ: длина равна показанию линейки у второго конца, записанному в сантиметрах.

Задача 3. Найти периметр четырёхугольника, если длины его сторон равны 3 см, 4 см, 3 см и 5 см. Периметр показывает общую длину границы фигуры. Значит, для решения нужно учесть все четыре стороны, включая две стороны длиной 3 см. Складывать только разные значения было бы неверно: таких сторон в фигуре может быть несколько.

1. Выпиши длины сторон по порядку: 3 см, 4 см, 3 см и 5 см.
2. Сложи числа: 3 + 4 + 3 + 5 = 15.
3. Оставь в ответе сантиметры, потому что длины сторон были даны в сантиметрах.

Проверка: учтены четыре числа, по одному для каждой стороны четырёхугольника. Поэтому полученная сумма показывает общую длину всех его сторон. Ответ: периметр четырёхугольника равен 15 см.

Типичные ошибки

Иногда прямую называют отрезком, потому что на листе обе фигуры выглядят как линии. Ошибка возникает, если забыть, что изображение прямой на бумаге ограничено краями листа, а сама прямая концов не имеет. Проверь себя: отмечены ли у линии две точки, которые являются её концами? Если да, это отрезок; если линия мысленно продолжается в обе стороны, это прямая.

При измерении можно приложить к отрезку не нулевую отметку линейки. Тогда число у второго конца не покажет длину от начала отрезка, и результат получится неверным. Такая ошибка часто появляется, когда линейку торопливо прикладывают к её краю, а не к отметке 0. Перед считыванием проверь, что ноль совпал с началом отрезка.

Вершину угла иногда принимают за одну из его сторон. Это происходит, если смотреть на рисунок невнимательно и не найти точку, из которой выходят оба луча. Проведи взглядом по лучам к месту их соединения: общая начальная точка и есть вершина. Лучи, отходящие от неё, называются сторонами угла.

При вычислении периметра можно пропустить сторону или сложить только разные по длине стороны. Так бывает, если не обойти фигуру по границе и не отметить уже посчитанные стороны. Проверь себя, пересчитав стороны по кругу и сравнив их число с количеством слагаемых. В сумму нужно включить каждую сторону, даже если длина повторяется.

Связь с другими темами

Перед изучением геометрических фигур нужно уметь считать и сравнивать числа: эти навыки понадобятся при измерениях и сложении длин. Полезно также научиться пользоваться линейкой, находить нулевую отметку и читать деления. Если измерить отрезок неточно, вычисления с его длиной тоже будут неверными.

Точка, отрезок и угол помогают описывать и чертить фигуры. Когда ученик умеет измерять длину и узнаёт стороны многоугольника, он может решать практические задачи, например находить периметр. Эти знания связывают черчение с вычислениями: сначала определяют элементы фигуры, затем измеряют их и считают.

Что запомнить

• Точки обозначают заглавными буквами.
• Прямая не имеет концов.
• Отрезок имеет два конца.
• Длину отрезка измеряют линейкой от нулевой отметки.
• Угол образуют два луча с общим началом.
• Периметр — сумма длин всех сторон многоугольника.