Геометрический материал (Повторение)

Определения и обозначения

Точка обозначает место на плоскости; её называют заглавной буквой, например точка А. На рисунке её обычно показывают маленькой отметкой. Точки помогают обозначать концы отрезков и вершины фигур, чтобы можно было точно назвать нужное место.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками; у него можно измерить длину. Точки на концах называют концами отрезка, например отрезок АВ. Это понятие нужно, когда мы измеряем расстояние или рассматриваем стороны многоугольника.

Угол — фигура, образованная двумя лучами с общим началом; общая точка называется вершиной. Лучи, образующие угол, называют его сторонами. Углы помогают описывать поворот и форму фигур, а их величину сравнивают с прямым углом.

Периметр — сумма длин всех сторон многоугольника. Чтобы найти его, нужно измерить стороны или использовать данные задачи и сложить их длины. Периметр показывает, сколько материала потребуется, например, чтобы обвести фигуру по краю.

Как это устроено

Прямую, луч и отрезок различают по тому, где они заканчиваются. У отрезка видны два конца, поэтому его длина конечна; у луча отмечено начало, а продолжение идёт только в одну сторону. Прямая не имеет концов и продолжается в обе стороны, поэтому на рисунке её обозначают стрелками с двух сторон.

Чтобы распознать угол, найди две его стороны-луча и их общее начало — вершину. Затем сравни раскрытие угла с прямым углом, похожим на угол листа бумаги. Угол меньше прямого называют острым, равный ему — прямым, а больший прямой, но меньший развёрнутого, — тупым; положение рисунка сравнение не меняет.

Прямоугольник можно узнать по четырём прямым углам. Прямые углы помогают отличить его от других четырёхугольников, даже если фигура нарисована наклонно. У квадрата тоже четыре прямых угла, но вдобавок все его стороны равны, поэтому квадрат обладает признаками прямоугольника и ещё одним свойством.

Периметр находят, складывая длины всех сторон: границу фигуры составляют именно эти стороны. У квадрата можно умножить длину одной стороны на 4, потому что все стороны равны. У прямоугольника удобно сложить длину и ширину и умножить сумму на 2: каждая из этих длин встречается дважды.

Площадь прямоугольника находят умножением длины на ширину: так можно посчитать, сколько единичных квадратов покрывает его поверхность. Если длина дана в сантиметрах, а ширина тоже в сантиметрах, площадь записывают в квадратных сантиметрах (см²). Для измерений побольше используют, например, квадратные метры (м²).

Основные геометрические фигуры и их свойства

Сначала найди в таблице нужную фигуру, затем проверь её состав и свойства. Последний столбец подсказывает, какое действие выбрать, если требуется периметр или площадь. Для угла и отрезка в этом столбце указано, что именно измеряют или сравнивают.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке отмечены несколько фигур. Найдите отрезок и укажите его концы. Чтобы ответить, нужно искать часть прямой, которая ограничена двумя точками, а не фигуру с одним началом или продолжением в обе стороны.

1. Найди среди изображений линию, у которой отмечены две конечные точки.
2. Проверь, что линия не продолжается за эти точки и у неё нет стрелок, показывающих продолжение.
3. Назови точки заглавными буквами, которыми они обозначены на рисунке. Если это А и В, то перед тобой отрезок АВ, а его концы — А и В.

Ответ: отрезок АВ; его концы — точки А и В. Буквы в ответе зависят от обозначений на конкретном рисунке. При проверке достаточно убедиться, что у выбранной фигуры именно два конца.

Задача 2. Длины сторон треугольника равны 4 см, 5 см и 6 см. Найдите его периметр. Периметр — это длина всей границы, поэтому нельзя выбрать только самую длинную сторону или сложить разные числа без проверки.

1. Запиши длины всех трёх сторон: 4 см, 5 см и 6 см.
2. Сложи их: 4 + 5 + 6 = 15. Так как складывались сантиметры, единица измерения результата тоже сантиметр.
3. Проверь, что учтены все три стороны треугольника.

Ответ: периметр треугольника равен 15 см. Такое сложение подходит для любого многоугольника, если известны длины всех его сторон. Важно не забывать единицу длины в ответе.

Задача 3. Длина прямоугольника 8 см, ширина 3 см. Найдите его периметр и площадь. Периметр отвечает на вопрос о длине границы, а площадь — о размере поверхности, поэтому для них нужны разные действия.

1. У прямоугольника две стороны длиной 8 см и две стороны длиной 3 см. Периметр можно вычислить так: 8 + 3 + 8 + 3 = 22 см, или короче: 2 × (8 + 3) = 22 см.
2. Для площади умножь длину на ширину: 8 × 3 = 24.
3. Запиши единицы правильно: для периметра это сантиметры, для площади — квадратные сантиметры.

Ответ: периметр равен 22 см, площадь равна 24 см². Проверка: у периметра сложены четыре стороны, а при вычислении площади использованы обе стороны прямоугольника и квадратная единица.

Типичные ошибки

Луч и отрезок могут выглядеть похоже, поэтому их легко перепутать. Ошибка — считать, что у луча два конца: у него только одно начало, а отрезок ограничен двумя концами. Проверь себя по обозначениям: две конечные точки означают отрезок, стрелка с одной стороны показывает продолжение луча.

Тупой угол иногда кажется острым, если рисунок повернут или расположен непривычно. Ошибка возникает, когда ориентируются на положение угла, а не сравнивают его раскрытие с прямым. Мысленно приложи к нему прямой угол: если раскрытие больше, угол тупой, если меньше — острый.

При вычислении периметра можно случайно пропустить сторону или сложить только разные длины. Так бывает, если не пересчитать стороны многоугольника или забыть, что одинаковая длина может встречаться несколько раз. Проведи пальцем по всей границе и отметь каждую сторону в записи ровно один раз.

Площадь иногда записывают в сантиметрах, потому что длина и ширина даны в сантиметрах. Но при умножении сантиметров на сантиметры получаются квадратные сантиметры, а не единицы длины. Проверь обозначение в конце: для площади нужны см², м² или другие квадратные единицы.

Связь с другими темами

Чтобы работать с геометрическими фигурами, нужно уметь измерять отрезки линейкой. При измерении важно совместить начало линейки с концом отрезка и правильно прочитать деления. Также пригодятся счёт и действия с именованными числами, то есть числами вместе с единицами измерения.

Периметр и площадь встречаются в задачах о повседневных делах. По периметру можно оценить длину ограды вокруг участка или ленты по краю предмета. Площадь помогает понять, сколько материала нужно для покрытия поверхности и каков размер этой поверхности.

Что запомнить

• Отрезок имеет два конца.
• У луча есть начало, но нет конца.
• Прямой угол равен четверти полного оборота.
• У квадрата все стороны равны и все углы прямые.
• Периметр — сумма длин сторон фигуры.
• Площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины.
• Площадь записывают в квадратных единицах.