Прямоугольник (квадрат)

Определения и обозначения

Прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые. Четырёхугольник — это фигура с четырьмя сторонами и четырьмя вершинами, а прямой угол похож на угол листа бумаги. Поэтому одного сходства с прямоугольной формой недостаточно: нужно проверить каждый угол. На рисунке прямоугольник можно обозначить ABCD, если идти от вершины A по сторонам к B, C и D.

Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны. У него есть те же четыре прямых угла, что и у любого прямоугольника, но добавлено ещё одно свойство: одинаковая длина каждой стороны. У прямоугольника с неодинаковыми сторонами равны только стороны напротив друг друга. Это различие помогает не перепутать квадрат с другими прямоугольниками.

Прямой угол — угол, который можно проверить угольником. Угольник прикладывают так, чтобы его вершина совпала с вершиной проверяемого угла, а одна сторона легла на сторону фигуры. Если вторая сторона угольника совпала с другой стороной фигуры, угол прямой. У прямоугольника и квадрата таких углов четыре.

Противоположные стороны — стороны четырёхугольника, которые не имеют общей вершины. В прямоугольнике каждая такая пара равна по длине: например, AB = CD и BC = AD. Чтобы убедиться в равенстве, стороны можно измерить линейкой. Это свойство помогает и при построении фигуры, и при нахождении неизвестной длины.

Как это устроено

Чтобы узнать, является ли фигура прямоугольником, сначала сосчитай её стороны, а потом проверь углы угольником. Счёт нужен, чтобы убедиться: перед тобой именно четырёхугольник, а не фигура с другим числом сторон. Проверять нужно все четыре угла, потому что даже у четырёхугольника один угол может быть наклонным. Только сочетание четырёх сторон и четырёх прямых углов даёт прямоугольник.

У прямоугольника противоположные стороны равны, поэтому достаточно измерить их линейкой и сравнить длины. Если фигура нарисована ровно, результаты измерения у каждой пары сторон напротив совпадут. Например, у ABCD сторона AB равна CD, а BC равна AD. Так можно проверить чертёж и понять, какую длину использовать, если известна только одна сторона пары.

Квадрат связан с прямоугольником через прямые углы: у него, как и у прямоугольника, все четыре угла прямые. Но квадрат обладает ещё одним свойством — все его стороны одинаковой длины. Значит, он удовлетворяет определению прямоугольника и одновременно отличается от прямоугольника с неодинаковыми сторонами. Поэтому каждый квадрат — прямоугольник, хотя не каждый прямоугольник — квадрат.

Название прямоугольника составляют из букв, обозначающих его вершины, и записывают их по порядку. Начни с любой вершины и двигайся по одной стороне к соседней, затем продолжай обход до возвращения к началу. Например, если после A идут B, C и D, фигуру называют ABCD. Нельзя перескакивать через вершину: тогда буквы не будут показывать последовательный путь по сторонам.

Чтобы начертить прямоугольник по заданным длинам, сначала построй прямой угол угольником и отложи на его сторонах длины двух соседних сторон. Затем через их концы проведи прямые, параллельные уже построенным сторонам, и замкни фигуру. Противоположные стороны должны получиться равными, а угольник поможет проверить четыре угла. Если длины не совпадают с заданными или угол вышел наклонным, чертёж нужно исправить.

Сравнение прямоугольника и квадрата

Сравнивай фигуры по строкам: так видно, какие свойства у них общие, а какое помогает узнать квадрат. Если нужно определить вид фигуры, сначала проверь количество сторон и углы, а затем сравни стороны. Название по вершинам у обеих фигур записывают одинаково — по порядку обхода.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке изображены несколько четырёхугольников. Найди среди них прямоугольники и квадраты. По одному внешнему виду не всегда легко решить, прямые ли углы и равны ли стороны. Поэтому каждую фигуру нужно проверять по признакам.

1. Сосчитай стороны у каждой фигуры и оставь те, у которых их четыре.
2. Приложи угольник ко всем четырём углам каждой оставшейся фигуры. Фигуры с четырьмя прямыми углами — прямоугольники.
3. Сравни стороны каждого найденного прямоугольника. Если все четыре равны, это квадрат; если нет, это прямоугольник, не являющийся квадратом.

Ответ. Прямоугольниками будут четырёхугольники с четырьмя прямыми углами. Среди них квадратами окажутся те, у которых все стороны равны; без измерения углов и сторон по одному наклону рисунка выбирать нельзя.

Задача 2. У прямоугольника ABCD сторона AB равна 6 см, а BC — 3 см. Нужно назвать остальные равные стороны и найти их длины. Буквы в названии идут по порядку, поэтому AB и BC — соседние стороны, а CD и AD лежат напротив них.

1. Вспомни свойство прямоугольника: противоположные стороны равны.
2. Стороне AB противоположна CD, значит, CD = AB = 6 см.
3. Стороне BC противоположна AD, значит, AD = BC = 3 см.

Ответ. AB = CD = 6 см, BC = AD = 3 см. Мы использовали равенство противоположных сторон, а не предположение, что все стороны прямоугольника одинаковы. В квадрате равны были бы все четыре стороны.

Задача 3. Начерти квадрат со стороной 4 см и прямоугольник со сторонами 4 см и 2 см. Подпиши вершины и сравни фигуры. Для построения понадобятся линейка, чтобы откладывать длины, и угольник, чтобы строить прямые углы. После черчения проверь не только размер, но и свойства фигур.

1. Угольником построй прямой угол и отложи на его сторонах два отрезка по 4 см. Дострой квадрат так, чтобы все четыре стороны были по 4 см, а углы — прямыми.
2. Построй прямоугольник: отложи две соседние стороны длиной 4 см и 2 см, затем дострой фигуру с прямыми углами. Проверь, что противоположные стороны равны: две по 4 см и две по 2 см.
3. Подпиши вершины каждой фигуры по порядку, обходя стороны. Сравни стороны: у квадрата все четыре равны, у построенного прямоугольника сторона длиной 4 см не равна стороне длиной 2 см.

Ответ. Квадрат имеет четыре стороны по 4 см и четыре прямых угла. У прямоугольника стороны равны 4 см, 2 см, 4 см и 2 см, и все углы прямые. Значит, обе фигуры прямоугольники, но только у квадрата все стороны равны.

Типичные ошибки

Ошибка — считать квадрат и прямоугольник совершенно разными видами фигур. Так думают, потому что квадрат часто изображают отдельно, хотя он подходит под определение прямоугольника. Проверь себя: у квадрата четыре стороны и четыре прямых угла, а это признаки прямоугольника. Дополнительное свойство квадрата — равенство всех сторон.

Ошибка — называть прямоугольником любой четырёхугольник. Четыре стороны ещё не означают, что все углы прямые, поэтому фигура может не быть прямоугольником. Проверяй углы угольником по одному, не ограничивайся взглядом на рисунок. Если хотя бы один угол не прямой, условие определения не выполнено.

Ошибка — считать, что у любого прямоугольника равны все стороны. Обычно путают равенство противоположных сторон с равенством всех сторон. Измерь стороны линейкой или сравни их попарно: у прямоугольника равны стороны напротив, а все четыре — только у квадрата. Такой проверкой можно избежать неверного ответа о длинах.

Ошибка — перечислять вершины не по порядку. Если записать буквы через одну, название не будет соответствовать движению по соседним сторонам. Начни с любой вершины и обходи фигуру в одну сторону, называя каждую следующую вершину. В конце проверь, что каждая из четырёх вершин встретилась ровно один раз.

Связь с другими темами

Для работы с прямоугольником и квадратом нужно уметь различать отрезок, угол и вершину. Отрезок показывает сторону, вершина — место встречи сторон, а угольник помогает проверить прямой угол. Линейкой измеряют длины и откладывают отрезки при построении. Эти умения позволяют не угадывать форму, а проверять её по признакам.

Свойства фигур пригодятся при измерении сторон и изучении периметра. Так как противоположные стороны прямоугольника равны, их длины удобно находить и учитывать при вычислениях. У квадрата все стороны одинаковы, поэтому достаточно знать длину одной стороны. Сначала важно правильно определить фигуру, чтобы выбрать нужные свойства.

Что запомнить

• Прямоугольник — четырёхугольник с четырьмя прямыми углами.
• У прямоугольника противоположные стороны равны.
• Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны.
• У квадрата четыре равные стороны и четыре прямых угла.
• Вершины фигуры называют по порядку, обходя её по сторонам.
• Прямые углы проверяют угольником.