3.2. Хорда

Определения и обозначения

Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Его концы лежат на окружности, а весь отрезок находится внутри круга или на его границе. Это определение помогает отличить хорду от произвольного отрезка внутри круга: у произвольного отрезка концы могут не касаться окружности.

Концы хорды — две точки окружности, которыми ограничен отрезок. Например, если отрезок соединяет точки A и B, его называют хордой AB, а точки A и B — его концами. Это уточнение нужно, чтобы правильно называть хорду и проверять, действительно ли обе её границы находятся на окружности.

Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности. Он соединяет две точки окружности, как и любая хорда, но отличается тем, что на его отрезке находится центр. Диаметр — частный, то есть особый случай хорды: это помогает увидеть связь двух понятий и не считать их совершенно разными объектами.

Как это устроено

Чтобы построить хорду, сначала отметь на окружности две точки, например A и B. Затем приложи линейку так, чтобы её край проходил через обе точки, и проведи отрезок AB. Он соединит выбранные точки кратчайшим прямым путём, поэтому получится именно отрезок, а не дуга окружности.

Почему нужны именно точки окружности? По определению хорда соединяет точки, лежащие на границе круга; если хотя бы один конец находится внутри, условие не выполнено. Такой отрезок может быть частью другой фигуры, но хордой его не называют. Проверяя концы, представь окружность как тонкую линию: обе точки должны лежать на этой линии.

Место выбранных точек влияет на вид и длину хорды. Если передвинуть одну или обе точки по окружности, изменится расстояние между ними и получится другая хорда. Например, две точки, расположенные рядом, задают короткий отрезок, а точки на противоположных сторонах окружности могут задать длинный. Поэтому название «хорда» говорит о типе отрезка, но само по себе не указывает его длину.

Диаметр тоже соединяет две точки окружности, значит, удовлетворяет определению хорды. Но к этому добавляется условие: отрезок должен проходить через центр окружности. Если хорда проходит в стороне от центра, она остаётся хордой, но диаметром не является. Получается, что слово «диаметр» называет хорду с особым расположением.

Хорду легко перепутать с дугой, потому что обе связаны с двумя точками окружности. Однако хорда — прямая линия внутри круга, а дуга — часть изогнутой окружности между теми же точками. Чтобы отличить их на чертеже, посмотри на форму: линейка соединит концы хорды прямым отрезком, а дуга повторяет изгиб окружности.

Сравнение хорды и диаметра

Сначала сравни концы: у обоих отрезков они должны лежать на окружности. Затем проверь, проходит ли отрезок через центр: если проходит, перед тобой диаметр. Так таблица помогает увидеть, что диаметр обладает всеми признаками хорды и ещё одним дополнительным свойством.

Разбор задач

Задача 1. На окружности отмечены точки A и B. Постройте хорду AB и назовите её концы. Здесь важно не провести линию дальше нужных точек: хорда — именно отрезок, ограниченный точками окружности. Проверим построение по определению.

1. Убедимся, что A и B лежат на окружности, а не внутри круга.
2. Приложим линейку к точкам A и B и проведём отрезок с концами в этих точках.
3. Назовём полученный отрезок AB хордой, поскольку он соединяет две точки окружности.
4. Назовём его концы: это точки A и B.

Ответ: хорда AB; её концы — A и B. Если провести через эти точки целую прямую, она продолжится за окружность, но хордой будет только часть между A и B.

Задача 2. Дан круг с центром O и хорда CD. Определите, является ли CD диаметром, если точка O лежит на этом отрезке. Чтобы решить задачу, достаточно проверить отличительный признак диаметра — прохождение через центр. В условии сразу сообщено, что центр принадлежит отрезку.

1. По условию CD уже является хордой, значит, C и D находятся на окружности.
2. Точка O — центр круга — лежит на отрезке CD.
3. Следовательно, хорда CD проходит через центр окружности, а это признак диаметра.

Ответ: CD является диаметром. Здесь не нужно искать длину отрезка или измерять расстояния: достаточно установить, что центр лежит на хорде.

Задача 3. Начертите окружность с центром O, проведите две хорды: одну через O, другую не через O. Подпишите, какая из них является диаметром. На рисунке обе линии должны соединять точки окружности, иначе не каждая из них будет хордой. Различить их поможет положение центра.

1. Начертим окружность и отметим её центр O.
2. Выберем на окружности две точки так, чтобы соединяющий их отрезок прошёл через O. Обозначим его, например, AB.
3. Выберем ещё две точки и соединим их отрезком CD, который не проходит через O.
4. Проверим концы обоих отрезков: они должны лежать на окружности. Отрезок AB назовём диаметром, а CD — хордой, не являющейся диаметром.

Ответ: диаметром является хорда AB, проходящая через O. Отрезок CD тоже хорда, но не диаметр, потому что центр на нём не лежит.

Типичные ошибки

Называть хордой дугу. Это ошибка, потому что дуга изогнута и является частью окружности, а хорда — прямой отрезок. Путаница возникает из-за того, что у них могут быть одни и те же концы. Проведи между концами прямую линию: отрезок будет хордой, изогнутая линия — дугой.

Считать, что хорда обязана проходить через центр. Такое требование относится только к диаметру, а не ко всем хордам. Иногда так думают, потому что диаметр часто показывают как главный пример хорды. Проверь, соединяет ли отрезок две точки окружности: если да, он хорда, даже когда центр находится в стороне.

Проводить конец хорды внутри круга. Тогда отрезок не соединяет две точки окружности, как требует определение. Ошибка может появиться, если принять за конец отрезка место, где он просто пересёк какую-либо линию на рисунке. Проверь оба конца отдельно: каждый должен лежать на самой окружности.

Путать хорду с радиусом. Радиус соединяет центр с одной точкой окружности, а хорда — две точки окружности. Эти отрезки могут выглядеть похоже, особенно на небольшом чертеже. Чтобы проверить себя, найди оба конца: если один конец в центре, это радиус, а не хорда.

Связь с другими темами

Для изучения хорды сначала нужно узнавать окружность, её центр и точки, лежащие на окружности. Эти понятия помогают проверять концы отрезка и определять, проходит ли он через центр. Хорды понадобятся при изучении диаметра, свойств окружности и геометрических построений. Умение проводить и распознавать их пригодится и при работе с чертежами.

Что запомнить

• Хорда — отрезок с концами на окружности.
• Концы хорды лежат на окружности.
• Хорда не обязана проходить через центр.
• Диаметр — хорда, проходящая через центр.
• Каждый диаметр является хордой, но не каждая хорда является диаметром.
• Хорда — отрезок, дуга — часть окружности.